Журнал "ЗС" посвятил синергетике немало публикаций (1982, ? 9,11; 1987, ? 10; 1988, ? 10, 11; 1993, ? 5; 1998, ? 3; см. также Синергетика), поэтому естественно на его страницах проинформировать о выходящей в издательстве УРСС синергетической серии. В серию входят как новые книги, так и переиздания известных трудов. Вряд ли стоит реферировать каждую книгу по отдельности, тем более что некоторым из них "ЗС" уже уделял внимание (например, по поводу книги И. Пригожина и И. Стенгерса "Квант, время, хаос" см. "ЗС", 1987, ? 10). Попробуем оценить значение серии в целом.
Нильс Бор считал, что описать процессы, протекающие в окружающем нас мире, на одном языке невозможно. Д.С.Чернавский (12) настаивает: "Жизнь показала, что возможен и даже необходим единый подход, в рамках которого ясно проявляются различные особенности явления". Второй подход базируется на естественной человеческой тяге к "первым принципам", из которых дедукцией можно было бы получать ответы на частные вопросы. Таковы, скажем, концепции Бога, Большого Взрыва, теории суперструн и т.д. Какое-то время назад такую роль должна была сыграть кибернетика.
История кибернетики прекрасно укладывается в формулу: "Нам говорили, что кибернетика - реакционная лженаука. Теперь мы знаем, что она не реакционная, не лже и уж, конечно, не наука". Значит ли это, что время, потраченное на развитие кибернетики, потеряно зря, а полученные в рамках кибернетики результаты потеряли свою значимость? Отнюдь - сама искусственная концепция оказалась несостоятельной. Но, может быть, бесполезны сами попытки создания единой "науки наук"?
А. Пуанкаре неоднократно подчеркивал: удачный новый термин несет большой творческий заряд. Он позволяет четко проследить совсем неочевидные связи, увидеть междисциплинарный характер явления, активизирует нашу интуицию и т.д. Примеров можно приводить множество, достаточно вспомнить "автоколебания", "солитон", "аттрактор" и т.д. Еще интереснее, когда новый термин соответствует новой теории. Но здесь нужна большая осторожность, которую нам демонстрируют классики. Скажем, двухтомник Рэлея "Теория звука" представляет, по современным воззрениям, монографию по теории колебаний и волн, однако Рэлей не ввел указанный термин. Это сделал через какое-то время Л.И. Мандельштам. Что важно: к этому времени теория колебаний и волн действительно была сформировавшейся дисциплиной со своими задачами, методами и, главное, огромным количеством результатов. Пришло ли время синергетики?
Как правило, науки, претендующие на роль синтезирующих, абсолютизируют некоторую сторону реальности. Теория катастроф ставит на первое место скачкообразные изменения, кибернетика - феномен управления, синергетика - явления самоорганизации. Обычно это связано с тем, что появился адекватный математический аппарат, позволяющий описывать данные явления. Скажем, эффект самоорганизации изучался довольно давно (вспомним те же конвективные ячейки Бенара, открытые в 1900 году ("ЗС", 1982, ? 9)), однако в основном на описательном уровне. Дело в том, что эффект этот чисто нелинейный, поэтому именно революция в методах решения нелинейных задач ("ЗС", 1982, ? 11) позволила Герману Хакену предложить новую науку, которая может не только описывать, но и предсказывать. Изложение синергетики базируется, как правило, на ряде примеров. На мой взгляд, это правильно. Л.И. Мандельштам сравнивал попытки с самого начала развития новой науки давать точные определения с заворачиванием только что родившегося ребенка в колючую проволоку.
Развитие новой дисциплины немыслимо без энергичных (еще лучше - фанатичных) адептов, равно как и жестких критиков. Например, фрактальная математика многим обязана неистовой энергии Бенуа Мандельброта ("ЗС", 1993, ? 5). Адепты синергетики в России - Ю.А. Данилов, Ю.Л. Климонтович, С.П. Курдюмов, Г.Г. Малинецкий, Д.С. Чернавский и другие - много сделали для того, чтобы мы имели возможность пользоваться идеями синергетики "в реальном режиме времени", без отставания от зарубежных школ. В этом - одна из целей рецензируемой серии.
Хотелось бы также отметить, что редакционный совет серии не ограничивается чисто синергетическими вопросами. В серии подробно освещены основные понятия, на которых зиждется синергетика: нелинейность (6,12), открытость (4,7-9), неустойчивость (2), асимптотичность (1,3), и это - вторая ее привлекательная черта.
Наконец, важен еще следующий аспект. О синергетике написано уже немало, и немало ей выдано авансов. Однако часто из книги в книгу, из статьи в статью кочуют все те же "ячейки Бенара", "брюсселятор", а затем - более или менее восторженные (в зависимости от темперамента авторов) обещания светлого будущего. Очень хорошо, что некоторые книги серии обсуждают конкретные приложения синергетической парадигмы к реальным задачам (5,12), ибо "по делам судите их".
Что касается места синергетики среди других наук, то вспоминаются слова Ортеги-и-Гассета: "Век за веком человечество пробует идеал за идеалом, век за веком шлет оно живые стрелы к обманчивым горизонтам. Порой то в одном, то в другом чудятся ему черты идеала, совершенного и окончательного. Что только не становилось мишенью людского энтузиазма, всеобщего исступления! Но ослепление проходило, человечество осознавало ошибку, убеждалось в неполноте идеала и, меняя курс, вновь и вновь направляло корабль к воображаемому берегу".
Серия "Синергетика: от прошлого к будущему". Москва, УРСС. Редактор серии Малинецкий Г.Г.
Вышли:
1. Андрианов И.В., Баранцев Р.Г., Маневич Л.И. Асимптотическая математика и синергетика.
2. Арнольд В.И. Теория катастроф.
3. Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании.
4. Гленсдорф П., Пригожин И.Р. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций.
5. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего.
6. Малинецкий Г.Г., Потапов А.Б. Современные проблемы нелинейной динамики.
7. Николис Г., Пригожин И.Р. Познание сложного.
8. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Порядок из хаоса.
9. Пригожин И.Р., Стенгерс И. Квант, время, хаос.
10. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Колебания и волны.
11. Трубецков Д.И. Введение в синергетику. Хаос и структуры.
12. Чернавский Д.С. Синергетика и информация.
Воздушные замки синергетики?
"ЗС" ? 7/1983
Современная теория самоорганизации - синергетика - активно проявила себя в стремлении дать универсальное описание многих физических и химических процессов.
Об успехах и проблемах новой естественнонаучной дисциплины наш журнал рассказывал в ? 9 за 1982 год и в ? 3 за 1983 год. Но синергетика не ограничила себя рамками лишь физики и химии. Она начала прокладывать путь дальше - в область биологии.
Однако там возникли непредвиденные затруднения, связанные прежде всего с необычайной сложностью исследуемых объектов.
Итак, что же может предложить биологии синергетика? Схожи ли формы физической и биологической самоорганизации? Достаточно ли внешних подобий? Каковы перемены в настроениях синергетиков, проникших на территорию биологии?
Путь синергетики, как и любой новой дисциплины, в стране естествознания можно сравнить с путем героя волшебной сказки. Сперва ему суждено благодаря смекалке и ловкости добыть чудесное средство - в данном случае это сама идея или сумма идей. Затем волшебный помощник подсказывает ему верный путь в те области, где чудесное средство ему может пригодиться, - в роли помощника в данном случае выступали специалисты различных узких областей, где синергетике предстояло "воевать". И вот - главный бой. Сработает средство - и герой получает царевну, можно не говорить, что в науке приз этот называют "знанием". А если не сработает?
В сказке финал предрешен - он заведомо счастливый. Иначе не было бы сказки. В науке результат заранее не известен - иначе не нужна была бы сама наука. Синергетике удалось с честью выйти из поединков на поле физики и химии, и впереди лежала новая область - биология, начиная от молекулярной биологии, биофизики клетки и сложных систем до морфологии, медицины, экологии.
Нельзя сказать, что на сегодня построена исчерпывающая теория самоорганизации в физике или химии. Нельзя хотя бы потому, что далеко не все явления самоорганизации этого рода узнаны и рассмотрены. Но можно предположить, не боясь ошибиться, что любое такое явление не покажется типологически новым, уляжется в готовую для него ячейку, будет понято и описано.
Иное дело - живые системы. Пока о них речи не шло, синергетика без особого напряжения, едва чудесное средство было получено, шагала по твердому пути. Но лишь только в ее поле зрения попали биологические объекты,
асфальт кончился,
оставалось довольствоваться проселком, а то и вовсе прыгать с кочки на кочку.
Дело прежде всего в том, что о чем бы речь ни шла до сих пор - о фазовых переходах или о лазерной генерации, о конвекционных ячейках Бенара или о периодически действующих реакциях, - синергетика имела в своем распоряжении описание каждого из этих явлений порознь, в рамках соответствующей теории. Например, теории фазовых переходов, гидродинамических неустойчивостей или теории автоволн, наконец. Задача была не в том, чтобы "разгадать" каждое из этих явлений, а в том, чтобы разглядеть достаточно глубоко спрятанные аналогии между ними, синтезировать знания об этих процессах, привести их к одному, "синергетическому" языку. Иначе говоря, нужно было заменить все тропинки и наезженные колеи в области явлений самоорганизации физической и химической природы одной магистральной трассой. Что и делалось.
Но в области самоорганизации биологических систем приходится проводить лишь первую разведку. Есть, разумеется, весьма простые аналогии между физическими и биологическими явлениями. Скажем, под действием электрического поля в образце перестраиваются электронные спины. Похоже это на то, как вдруг, все разом поворачивают мальки, сбившиеся в стаю, едва поперек воды ложится пугающая их тень? Внешне - да. ??? Но по сути дела все явления самоорганизации в биологических системах связаны с процессами самоусложнения этих систем. В физических и химических системах при самоорганизации нам никогда не приходится сталкиваться с появлением качественно новых элементов. Как правило, уже имеющиеся перекомбинируются или изменяются в количестве. В живых системах сплошь и рядом самоорганизация связана с возникновением элементов принципиально новых - развитие любого организма представляет собой такого рода процесс.
Словом, можно указать прежде всего на две проблемы, с которыми сталкивается наука о самоорганизации в живых системах. Первая - отсутствие, как правило, достаточно теоретически разработанных узкоспециальных теории, это связано с необычайной сложностью даже относительно "простых" биологических объектов, с трудностью добывания мало-мальски надежного эмпирического материала. ??? Вторая - иной тип самоорганизации, при которой происходит самоусложнение живых систем и отдельных их элементов.
Так что же, можно ли вообще при таком положении дел всерьез думать о построении теории биологической самоорганизации? Впрочем, это сказано чересчур громко, ведь биологическая самоорганизация - это, в сущности, и есть форма существования живых систем, их образования, развития, размножения. Скажем иначе, стоит ли надеяться на то, чтобы в ближайшее время описать, подобно тому, как удалось это в физике и химии, хотя бы один относительно простой класс биологических явлений, описать строго математически, разумеется? Не будет ли такая теория - даже если удастся ее построить пока в виде гипотезы - стоять на зыбком песке? И вообще не преждевременны ли подобные устремления? Не есть ли все это лишь прекраснодушные мечтания?
Сама возможность задавать подобные вопросы - а они вполне оправданы, если все время помнить, как мало, по сути дела, известно даже просто о живой клетке, - обнажает своего рода парадокс современной математизированной биологии вообще, и прежде всего биофизики. Пока биология была классической, собирала гербарии и коллекции морских гребешков, аккуратно записывала в полевые блокноты все увиденное ее представителями, никаких вопросов не возникало. Но сейчас, когда "классики" вынуждены потесниться и дать место математикам, подчас не видавшим живой рыбки даже в аквариуме, ситуация резко изменилась. В последние двадцать лет
биофизика завоевывает авторитет
так быстро, наступает такими темпами, как ни одна отрасль биологии в прошлом. И вместе с тем - нет другой естественной дисциплины, где все достигнутое было бы столь частным, раздробленным, не приведенным в единую, теоретически осмысленную систему. Похоже на то, что методы - скажем, методы математической биофизики - далеко обогнали те области, которые, собственно, они должны обслуживать. Проще говоря, идей значительно больше, чем экспериментальных к тому оснований. В такой ситуации понятно, что синергетику, - по сути дела, тоже представляющую собой сумму идей, концепцию, а не открытие чего-либо принципиально нового, - ждал в биофизике радушнейший прием.
На первой синергетической конференции у нас в стране в прошлом году не было ни "чистых" биологов, ни экологов, но биофизическая "фракция" была весьма представительной. Удивляться нечему: если для физики и химии изучение явлений самоструктуирования - область сравнительно новая, то в биологии о самоорганизации говорили, во всяком случае, начиная с прошлого века. Здесь теория самоорганизации в своей физической ипостаси встретила как бы двойника, правда, под другим именем, и не подозревавшего, конечно, о родстве своих объектов исследования с синергетическими физическими объектами - фазовыми переходами, скажем, или ячейками при конвекции в жидкости.
На конференции по синергетике были представители преимущественно молекулярной биофизики. И это тоже понятно: именно в этой области достигнут какой-никакой, но прогресс в решении фундаментальных вопросов. Вернее, одного вопроса, касающегося эволюции, - как могла бы происходить
самоорганизация макромолекул
в конце химической или в начале биологической, как угодно, эволюции на Земле.
Нам придется вспомнить давнюю работу лидеров "брюссельской школы" П. Гленсдорфа и И. Пригожина. В ней они высказывали надежду, что в будущем биологические структуры можно описывать с помощью развитого ими метода неравновесной термодинамики, подобно тому, как описывается возникновение порядка в открытых химических системах. Им удалось установить и строго математически описать, что в открытых системах при удалении их от термодинамического равновесия может из беспорядка вновь возникнуть порядок, "второй" порядок, если "первым" считать тот, что достигается в состоянии равновесия. Им удалось объяснить, скажем, периодически протекающие химические реакции Белоусова - Жаботинского, до их теоретических работ представлявшиеся довольно загадочными. Так вот, все эти закономерности, выражали надежду авторы, можно будет проследить и на системах биологических. Оптимизм ученых не оправдался. Впрочем, они оговаривались, что нужны еще многие исследования и дополнительные данные. Исследований было много за эти десять лет. Данных - чуть меньше. Во всяком случае, данных, касающихся фундаментальных проблем. Но даже на сугубо теоретическом, концептуальном, гипотетическом уровне сладить с живыми системами не удавалось. Исключением, возможно, стала первая ступень биологической эволюции - этап возникновения на Земле первых макромолекул органических полимеров из химических мономерных молекул.
Гипотезу, о которой пойдет речь, выдвинул известный немецкий химик, лауреат Нобелевской премии Манфред Эйген, причем вскоре после опубликования монографии Гленсдорфа - Пригожина.
"До Эйгена" ситуация представлялась такой. В результате химической эволюции на Земле появились разнообразные неорганические вещества, состоящие из мономерных молекул. Затем самым загадочным образом из них возникли полимерные молекулы. Почему загадочным? Потому, что если бы эволюция "действовала" по принципу слепого перебора, то никаких полимеров не было бы и сегодня - это оценка теории вероятностей для времени такого перебора: оно превышает время существования Вселенной. Ведь мономерные молекулы складываются в полимерные не "как бог на душу положит", а по строгим правилам, подобно тому, как строятся слова из букв алфавита. Нет, скажем, в языке слова с пятью согласными подряд, здесь действует некий запрет. А каков запрет в случае строительства полимерных молекул? По какому закону из простых молекул выстраивались первые сложные цепи белков и нуклеиновых кислот? Каков механизм этого процесса самоорганизации? Ведь механизм должен быть - молекулы-то существуют. Причем механизм весьма отлаженный, поскольку в масштабах эволюции возникновение макромолекул произошло довольно быстро.
М. Эйген распространил на процессы, которые должны были происходить при этом эволюционном скачке, принцип дарвиновского естественного отбора, введя понятие
"конкуренция гиперциклов",
подразумевая под ними циклы химических реакций, приводящих к образованию первых белков.
Пояснительный пример для иллюстрации рассуждений М. Эйгена может быть таким. Пусть имеется набор мономерных молекул. При их непрерывном тепловом движении всегда есть вероятность того, что рано или поздно некоторые из них "сцепятся" и образуют несколько полимерных молекул. В такой ситуации начинается конкуренция в борьбе за "пищу" между макромолекулами - за молекулы мономеров. Если во всю эту картину вместо слов "макромолекулы" подставить слова "циклы реакций", то она несколько уточнится. По мысли Эйгена, конкурируют именно гиперциклы, которые делятся на более и менее эффективно работающие.
И здесь - "гвоздь программы", ядро гипотезы. Она предусматривает, что в химическом "первичном бульоне" присутствуют катализаторы протекающих реакций, являющиеся в то же время их промежуточными продуктами. То есть происходят реакции автокаталитического типа, такие, как реакция Белоусова - Жаботинского, такие, которые рассматривали и термодинамически объяснили Гленсдорф - Пригожий. Это означает, что гипотеза Эйгена вводит феномен возникновения первых белков в область рассмотрения теории самоорганизации, какой она сложилась на сегодняшний день, в область синергетики, если принимать этот термин. То есть синергетика с помощью этой гипотезы продвинулась несколько вперед, в глубину биологического государства.
Разумеется, гипотеза на то и гипотеза, что не может утверждать, будто на Земле жизнь зарождалась именно так, а не иначе. Но она является удовлетворительной, потому что показывает - так могло быть. Гипотеза Эйгена - всего лишь физико-математическая модель эволюции на предбиологической ее стадии, остроумно сочетающая допущения, заимствованные и из физики, и из химии, и из классической биологии. Модель, попытка, одна из возможностей, лишь догадка. И самое удивительное - единственная в своем роде. Скажем, о не менее таинственном эволюционном скачке от органических макромолекул к живой клетке и такой догадки не существует. Раскрытие тайн эволюции замерло пока на этом, первом шаге. Дальше нам придется прыгать
с кочки на кочку,
как и было обещано. Синергетика может предложить лишь частные модели отдельных биологических процессов. О фундаментальных же проблемах и думать нечего. Скажем, тот же этап возникновения живой клетки не только не ясен, поскольку сама клетка во многом загадочна, но даже оценки времени этого этапа в общей шкале эволюции весьма приблизительны. Строить модель - пусть самую гипотетическую - в такой ситуации все равно что намереваться запустить космический корабль, ничего не зная ни о гравитации, ни об атмосфере.
Здесь возникает довольно тривиальная психологическая ситуация. Развивается синергетический подход. Хорошо описаны с его помощью довольно разнообразные физические явления. Но самыми разительными примерами самоорганизации располагает биология. Самыми яркими, самыми очевидными, самыми притягательными, разумеется, но и самыми не объясненными. Ну можно ли удержаться от того, чтобы не пофантазировать хотя бы чуть-чуть, не забежать вперед, не взять на себя риск прогноза... Создатель синергетики Г. Хакен не удержался. Одна из глав его основного труда посвящена биологии. Правда, глава коротенькая. И названа в отличие от других не "биологические системы", подобно главе "физические системы" или "химические и биохимические системы", а осторожнее - "приложения к биологии". И далее приводится несколько простых математических моделей, вообще говоря, давно известных: модель системы хищник - жертва, впервые данная в работах ученого В. Вольтерра в первой половине века, модель морфогенеза. Цель - проиллюстрировать, что в этих проблемах центральное место занимает вопрос о кооперативных эффектах, точно так, как при синергетическом подходе к фазовым переходам, скажем. Иначе говоря, что формы самоорганизации физической и биологической в этом смысле схожи. Надо заметить, что разглядеть это сходство - не значит хоть на шаг подвинуться вперед. Впрочем, некоторые модели математической биофизики и биологии действительно подобны модели для неравновесных фазовых переходов, а значит, и для процессов в сложных лазерах, гидродинамических неустойчивостей и других. Но значит ли это, что аналогии истинно глубоки и что можно надеяться на построение некоей общей теории?
В момент зарождения синергетики, видимо, такие надежды высказывались или молчаливо вынашивались. То был период подъема, энтузиазма, когда вдруг могло показаться, что новая концепция - панацея от многих нерешенных вопросов. Собственно, подобную "агрессивность" проявляет любая новая теория, бурно завоевывающая популярность, как любая массовая мода. Сегодня, однако, похоже на то, что настроение более спокойное, а взгляд - более объективный. Даже ярый сторонник синергетики сегодня скажет, что физические примеры помогают обратить внимание на то-то и то-то в биологической области, но не менее осторожно.
Во время синергетической конференции я имел возможность побеседовать с Германом Хакеном. На вопрос о том, какие достижения в "биологической синергетике" принесло время, прошедшее со дня выхода его основной книги, он ответил не слишком определенно. Да, есть некоторые работы. Скажем, бионики наблюдают нечто похожее на фазовые переходы при координации движений у животных, при галопе лошади, например... Да, солидная дистанция от "математических моделей процессов эволюции" до этого лошадиного галопа. Впрочем, западногерманский физик тут же оживился, взял у меня блокнот и стал рисовать какие-то малопонятные картинки. Оказалось, что это - иллюстрации к остроумной работе некоего американского математического биолога, который попал на один из конгрессов по синергетике в ФРГ, - такие конгрессы проводятся регулярно на родине синергетики. Прослушав доклад о гидродинамических неустойчивостях и о ячейках Бенара, на которые разбивается жидкость при разнице температур на нижней и верхней поверхности, он вдруг сообразил, что эту модель можно перенести в область биологии, изучающую феномены оптического восприятия: картинки на экране диапроектора до странности напоминали рисунки наркоманов, когда тех просили нарисовать по памяти свои зрительные галлюцинации. Тут же родилась гипотеза: наркотики так действуют на нервную систему, что обычное изображение, которое видит человек, делается неустойчивым. При определенной дозировке, однако, возникают устойчивые картины перед глазами наркомана, и все поддается математическому описанию по аналогии с гидродинамическими неустойчивостями...
Быть может, эта работа перспективна. Однако она не продвигает синергетиков дальше по пути - к биологии. И похоже, пример с наблюдательным американцем весьма показателен - на сегодняшний день реального прогресса здесь не предвидится.
Так стоит ли строить воздушные замки? Что синергетике биология? Что биологии синергетика?
Синергетика имеет дело, как правило, со структурами, которые не терпят "голода". Если воду перестать подогревать, ячейки, возникшие в результате конвекции, мгновенно исчезнут. Биологические же структуры могут быть отключены на какое-то время от источников питания. Это делает их еще более сложными для изучения. То есть они ведут себя и как диссипативные, и как равновесные, и никаких аналогий им ни в физике, ни в химии нет. Или еще одна принципиальная сложность. Ячейки Бенара, скажем, возникают в природе "бездумно", без какого-либо уже заложенного в жидкости плана, а в общем плане мироздания они и вовсе никчемны, декоративны, летучи. Не то - живые структуры. Они строго учтены общим планом природы, функциональны и никогда не бывают случайны. Будь то клетка, отдельный организм или туча саранчи. Иначе говоря, у живой природы строгий режим экономии, тогда как неживая невероятно расточительна. То же можно сказать и на другом языке - на языке теории информации. И на языке термодинамики. Но суть от этого не меняется: живые и неживые структуры разделяет пропасть. И синергетика пока остается лишь на одном ее краю. И даже в возможностях "приложения" впору усомниться...
Жизнь, однако, показывает другое. Реальная жизнь науки, которая ведь тоже идет не только по плану академий наук, но самоорганизуется. И создание новых структур в научной жизни - налицо. Конгрессы, симпозиумы, конференции, семинары, на которых физики, химики, биологи сидят плечом к плечу, часто не понимая друг друга, но внимательно вслушиваясь. И даже если синергетика для биологии останется лишь неким ферментом брожения, дрожжами, ускоряющими работу воображения биологов, то и это будет означать, что и в биологии синергетика сказала свое слово и ее воздушные замки не остались нежилыми.
Н. Климонтович
Предыдущие 3 статьи
Следующие 3 статьи
Шаги к признанию
Синергетика: лозунг или наука?
Нелинейность
Синергетика-на-Оке
Современна ли современная наука?
Легенда и быль о химических колебаниях
Синергетика: Синергетика / Современна ли современная наука?
Современна ли современная наука?
"ЗС" ? 10/1987
Несколько лет назад Илья Пригожин, лауреат Нобелевской премии и глава так называемой "брюссельской школы", объединяющей представителей различных естественнонаучных направлений, был одним из самых почетных иностранных гостей на международном симпозиуме в Центре биологических исследований в Пущине под Москвой. Темой встречи были достижения нового междисциплинарного направления, получившего название "синергетика", или теория самоорганизации. В интервью, которое дал нам тогда бельгийский ученый ("Синергетика-на-Оке", "Знание - сила", 1983 год, ? 12), он говорил, что, с его точки зрения, создание теории самоорганизации, описывающей новые, недавно открытые свойства материи, - самая актуальная проблема современной науки. И вот перед нами русское издание книги, написанной И. Пригожиным в соавторстве с философом и историком науки Изабеллой Стенгерс, получившее в русском переводе название "Порядок из хаоса"1.
Нова не столько постановка вопроса - что наиболее современно в современном естествознании? - сколько точка зрения авторов на нынешний этап развития науки. "Нам, живущим, в конце XX века, накопленный опыт позволяет утверждать, что наука выполняет некую универсальную миссию, затрагивающую взаимодействие не только человека и природы, но и человека с человеком".
Поначалу может показаться, что за этим утверждением кроется достаточно банальный взгляд на науку как на несомненного лидера в культуре нашего времени, взгляд "сайентистов" середины века, ставший давно общим местом и породивший глубокую критику. Взгляд, оправдывающий претензии науки на исчерпывающее объяснение всего и вся, на радикальное переустройство общества на путях гладкого и поступательного прогресса. На самом же деле точка зрения авторов скорее противоположна.
Прослеживая шаг за шагом движение европейской научной мысли, авторы приходят к выводу, что в нашем столетии наука вплотную подошла к необходимости "трагического выбора" между концепцией мира-автомата, наиболее отчетливо сформулированной еще Лапласом, и теологией. Классическая наука от Ньютона до Эйнштейна всегда вращалась, по мысли авторов, вокруг "основополагающего тезиса, согласно которому на определенном уровне мир устроен просто". Или, используя выражение биофизика М. Эйгена, что рано или поздно мы сможем обрести "ключ от ларца с ключами". Обратная точка зрения может быть сформулирована так: даже если такой ключ существует, бог нам его не выдаст.
И. Пригожий и И. Стенгерс посвятили свою книгу доказательству того, что на современном этапе наука попросту избавлена от этого выбора, поскольку сама эта альтернатива сегодня звучит упрощенно. Наука настолько изменилась в последние десятилетия, что и место ее в общечеловеческой культуре ныне иное.
Самый простой и наглядный пример радикального изменения научных взглядов - это отношение к обратимости природных процессов. Динамика Ньютона утверждала, что мир построен по обратимым законам, и не задавалась вопросом, отчего, к примеру, можно развести спирт водой, но нельзя проделать обратную операцию. Законы Ньютона независимы от времени, для них не существует понятие "до" и "после". Но сегодня вполне ясно, что обратимость и жесткий детерминизм - это частные случаи. Напротив, необратимость и случайность не отдельные исключения, а общее правило. "Бог играет в кости", если использовать крылатое выражение Эйнштейна, который сам-то как раз и отказывался в это верить, полемизируя с создателями квантовой механики.
Впрочем, необратимость вошла в научный обиход вместе с первой "неклассической" физической теорией - термодинамикой, вместе с ее знаменитым вторым началом, гласившим, что энтропия возрастает. Так вошла в научное сознание "стрела времена" и возникло понятие направленной эволюции, тут же взятое на вооружение не только биологией и геологией, но и социальными науками. Но и сто лет спустя, в первой половине нашего века, неклассическая "классическая термодинамика" находилась в противоречии с дарвиновской теорией эволюции живых систем. Первая предсказывала рост энтропии и уничтожение порядка, конечный распад любых структур вдали от термодинамического равновесия, вторая говорила о неумолимом росте и развитии всего живого, об эволюции и усложнении биологических систем. Это противоречие ставило непреодолимую преграду между физикой и биологией, пока не возникла в пятидесятые годы неравновесная, неклассическая термодинамика, одним из создателей которой и был Илья Пригожин.
Стало ясно, что равновесность - такой частный случай, как и обратимость, а закономерными являются как раз неравновесные процессы, при которых вдали от равновесия в открытых системах могут спонтанно возникать новые структуры, то есть идти самоорганизация. Дарвин примирился с лордом Кельвином в Брюсселе спустя почти век. Стало понятно, что жизнь во Вселенной обязана своим существованием не обратимым простым детерминистическим законам, а случайностям необратимости, неравновесности. С точки зрения классической физики последнее утверждение было бы чистым абсурдом.
Мы читаем книгу и шаг за шагом можем проследить, как в последние триста лет появлялись гипотезы и теории, вызывавшие драматические столкновения идеи и взглядов. Сама наука, какой она стала сегодня, начинает казаться структурой, возникшей вдали от равновесия в результате обмена энергией и идеями нескольких поколений ученых, гениальность многих из которых общепризнана. Авторы постепенно приподнимают занавес, и мы видим сцену современной науки с ее головокружительной панорамой идей, не расставленных в статичную мизансцену, а находящихся в непрестанном движении. Мы становимся свидетелями происходящих сегодня в науке перемен, и это важнейшая заслуга авторов.
Но столкновение идеи на собственно естественнонаучной почве - лишь одна из сюжетных линий книги, причем не самая главная. Авторы отнюдь не ограничиваются историческим обзором и популяризацией, цель книги - осмыслить современный этап научного познания с философской точки зрения в контексте современной культуры.
Эрвин Шредингер писал: "?научные открытия, даже кажущиеся в настоящий момент наиболее передовыми и доступными пониманию немногих избранных, все же бессмысленны вне своего культурного контекста". Авторы "Порядка из хаоса" как бы возвращают современное естествознание, которое на наших глазах часто пыталось стать понятным лишь посвященным, в лоно общечеловеческих духовных поисков, подчеркивая, что наука вне контекста культуры "обречена на бессилие и паралич".
Конечно, эта точка зрения - не сайентистская, хотя сами по себе критика замкнутой в себе науки ненова. Но авторы и не думают атаковать науку подобно М. Хайдеггеру, который видел в "жажде знаний" науки лишь замаскированную волю к власти над природой, или, подобно А. Кестлеру, призывающему включить "паранормальные явления в нашу концепцию нормальности", то есть расширить науку в сторону иррационализма. Авторы видят в современном этапе науки переход от "мира количества" в "мир качества" в мир возникающего, становящегося, а не данного. "Именно такой переход придает особую значимость и очарование переживаемому нами моменту истории науки".
Этот переход характеризуется поисками нового синтеза. Синтеза достижений в различных естественнонаучных областях, а он только начат в области биофизики. Синтеза науки и гуманитарной культуры. Но, кроме того, современный момент предвещает и новый союз природы и человека, так давно утерянный и столь желанный сегодня. Кстати, в оригинале книга так и называлась - "Новый альянс".
Что касается внутринаучного синтеза, то теория самоорганизации сама есть плод этого направления развития науки, ведь она возникла на стыке физики, химии, биологии. Вопрос же о преодолении барьера между "двумя культурами" более сложен. "Одна из причин противопоставления "двух культур", по-видимому, кроется в убеждении, что литература соответствует некоторой концептуализации реальности, чему-то вымышленному, в то время как наука выражает объективную реальность". Ссылаясь на квантовую механику с ее принципом дополнительности, авторы замечают, что ситуация не так проста. "Существенный элемент концептуализации подразумевается на всех уровнях реальности". Подобно тому, как блистательное исполнение Шенберга, скажем, не охватывает "всю музыку" и не исчерпывает ее, и научный эксперимент, и научная теория лишь дополнительны к другим экспериментам и теориям. С тех пор, как это стало общепризнанным, физика потеряла привилегию "на экстерриториальность любого рода".
Что же касается нового союза с природой, то современная наука, по мысли авторов, осознает постепенно: ее любопытство по отношению к природе есть аспект внутренней активности самой природы.
Подводя итог, И. Пригожин и его сотрудница зовут к преодолению всяческого отчуждения и утверждают, что время для такого преодоления наступило. И это делает их книгу не только актуальной, но и оптимистичной.
1И. Пригожин, И. Стенгерс. Порядок из хаоса: Новый диалог человека с природой Москва, издательство "Прогресс", 1986 год.
Н. Климонтович
Предыдущие 3 статьи
Следующие 3 статьи
Синергетика-на-Оке
Воздушные замки синергетики?
Шаги к признанию
Легенда и быль о химических колебаниях
Математические предвестники единства
Фрактальность
Математические предвестники единства
"ЗС" ? 10, 11/1988
Беседа члена-корреспондента Академии наук СССР С. П. Курдюмова с нашим корреспондентом К. Левитиным
Конечно, опыт остается единственным критерием пригодности математических конструкций физики. Но настоящее творческое мышление присуще именно математике. Поэтому я считаю в известном смысле оправданной веру древних в то, что чистое мышление в состоянии постигнуть реальность.
А. Эйнштейн
- Сергей Павлович, вы специалист в области прикладной математики и математической физики, заведующий сектором Института прикладной математики имени М. В. Келдыша АН СССР и профессор Московского физико-технического института, одним словом, человек, для которого события, происходящие в прикладной математике и особенно в той ее части, что связана с описанием физического мира, - ежедневная реальность. Каково нынешнее положение дел в этой науке, как чувствует себя сегодня древнейшая и практичнейшая из математических дисциплин, прародительница всех нынешних самых сложных и абстрактных направлений и течений?
- В прикладной математике сейчас происходит революция. Тут ни в малой степени нет преувеличения меняются не только понятия и методы, но и сама стратегия исследования. Вызвана же эта ломка двумя тесно связанными обстоятельствами.
Прежде всего, прикладная математика, издревле привыкшая чутко улавливать требования жизни, не могла не откликнуться на возникающую в последнее время практическую необходимость работать с нелинейными процессами, то есть описывать их с помощью уравнений. Ранее это математике в большинстве случаев было не по силам, и потому такая задача не ставилась.
Между тем с каждым годом, с каждым новым серьезным исследованием практические в любой области науки становилось все яснее, что надо менять подход к природе: если раньше считали нелинейность лишь "испорченной" линейностью, ее экзотическим частным случаем, то теперь становилось очевидным, что все явления природы нелинейны, а их линейные описания - просто от бедности, от упрощения. Всюду, куда ни глянь, следствие лишь на каком-то ограниченном этапе изменяется пропорционально вызывающей его причине, а до и после этого линейного участка наблюдаются скачки, пики, провалы - все что угодно, но только не скучное, лишенное неожиданностей и разнообразия бытие причин и следствий.
Другая причина, приведшая к нынешним глубоким изменениям в прикладной математике, - широкое распространение ЭВМ, появление их не только в вычислительных центрах, но и на столах у отдельных исследователей, - дала толчок новым способам решения математических задач. Возникающие в сознании ученых математические образы, характерные именно для нелинейных систем, оказалось возможным материализовать с помощью персональных компьютеров. Поэтому необходимым инструментом не только для математика-прикладника, но и для математика-теоретика становится мощная, удобная и компактная вычислительная машина, точнее, вычислительный эксперимент, проводимый благодаря ей.
Это словосочетание еще не стало привычным, хотя оно обозначает новый способ научной работы, я бы даже сказал - научного мышления. Поэтому, думаю, лучше всего процитировать слова моего учителя, академика Александра Андреевича Самарского, из его статьи "Современная прикладная математика и вычислительный эксперимент", опубликованной недавно в таком отнюдь не специально математическом журнале, как "Коммунист".
"Вычислительный эксперимент, - пишет он, - предназначен для изучения, прогнозирования, оптимизации сложных многопараметрических нелинейных процессов, теоретическое и экспериментальное исследование которых традиционными методами затруднено или невозможно". К этому весьма точному определению хочу добавить лишь, что на экране персонального компьютера нередко удается наглядно представить те образы, которыми оперирует математик, деформировать их, рассматривать их развитие во времени. Это - огромное подспорье в нашей работе, источник новых идей и вдохновенья, которое, как говорил Пушкин, в математике нужно так же, как в поэзии.
Одно из наиболее глубоких следствий нынешней революции в математике состоит в том, что наука эта стала намного ближе к изучению природы, особенно живой. Тем самым она вступает в новый, неизведанный мир. Это мир нелинейных явлений, где сплошь и рядом возникают неожиданные связи между структурами и хаосом, между поведением в динамике, в саморазвитии систем и их статистическими, "изначальными" свойствами, между давно привычными нам понятиями и теми, что родились буквально вчера. Парадоксы этого мира видны пока немногим исследователям, но я убежден - они открывают дорогу к значительно более полному и глубокому постижению природы.
Мы начинаем, в частности, понимать, что ответы на бесчисленные вопросы о возможном поведении по-настоящему сложных систем следует искать на пересечении свойств этих систем и окружающей их среды. Нам постепенно становится ясно, что системы, оказавшиеся теперь в фокусе наших интересов, имеют свои стремления, демонстрируют свои предпочтения при выборе из множества возможностей дальнейшего развития. Особенно ярко роль этих внутренних тенденций проявляется в мире живого, ибо подобного рода самоорганизация - один из важнейших принципов его устройства. Она связывается с представлениями о самоподдержании (например, температуры тела животного), регенерации (порезали руку - царапина сама заживает, оторвали у ящерицы хвост - он сам собой отрастает заново), самодостраивании (интуиция в психологических процессах) и так далее.
- Поскольку речь зашла о живой природе, я хотел бы, чтобы вы разъяснили одно обстоятельство, давно, признаюсь, меня занимающее. В последнее время мне не раз приходилось слышать ваши публичные выступления, читать написанные вами и вашими сотрудниками научные работы, в которых так или иначе звучит одна и та же тема. Верно ли, что знаменитая фраза из книги "Что такое жизнь с точки зрения физики" Эрвина Шредингера "Мы должны ожидать, что в живом веществе преобладает новый тип физического закона" не представляется вам правильной? Другими словами, действительно ли вы хотите сказать, что математика нашла закономерности, равно действующие в живой и в неживой природе?
- Мы действительно считаем своим долгом знакомить по возможности более широкую аудиторию с теми, на наш взгляд, весьма важными и далеко идущими выводами, к которым пришли в последнее время в результате долгих и нелегких исследований. Конечно, суждения об особенностях живой и неживой природы специалиста в области точных наук - а я и мои коллеги почти поголовно математики и физики - неизбежно несут на себе отблеск несколько абстрактного подхода, они не опираются на солидную базу знаний конкретных дисциплин, в них отсутствует понимание тонкостей и частностей. Разумеется, мы это сознаем. Но, с другой стороны, в вопросах столь большой общности подобный подход представляется едва ли не единственно возможным.
Да, с позиций диалектики развития знания об окружающем нас мире представляется крайне странным, что в современной науке сосуществуют две различные теории эволюции: одна - для живых, другая - для неживых систем. Одна - биологическая, другая - физическая. Дарвиновская теория зиждется на том, что в мире живого постоянно идет усложнение структур и форм. Второе начало термодинамики Клаузиуса говорит прямо противоположное: в любой изолированной физической системе все процессы идут к выравниванию, упрощению, говоря чуть более научным языком - энтропия неумолимо возрастает. То есть неживая природа эволюционирует "к нулю", к предельной простоте, к полному хаосу.
Разве это не странно? В одном и том же уголке Вселенной в части систем идет процесс созидания, структурирования, а в другой части - разрушения, ломки структур. Этот дуализм в свое время породил даже пессимистические взгляды на судьбы мира: трагическая тепловая смерть Вселенной замаячила на горизонте философского познания. Ей, правда, любили противопоставлять созидающую деятельность разума, конструируя на этой несколько, зыбкой основе теорию о его космической роли, ибо ни одна философия не настолько пессимистична, чтобы допустить, что наш мир непременно должен погибнуть, а спасти его от полного выравнивания температур, как казалось ряду философов, могло лишь вмешательство мыслящей материи, воюющей со всеобщим возрастанием энтропии.
Так вот, сегодня дело видится по-другому. Изучение сложных объектов - главным образом математических, воображаемых, но в какой-то мере и реально отражающих действительность, вполне физических - приводит к мысли, что хаос может рассматриваться как источник высших форм порядка, что среда, предстающая перед нашим взором как совершенно беспорядочное, случайное скопление элементов и форм, на самом деле таит в себе основу для рождения огромного, практически ничем не ограниченного числа упорядоченных форм, сколь угодно сложных и законченных образований.
Возьмите, к примеру, морфогенез - образование тех или иных форм у растений и животных. Вот перед вами обычное куриное яйцо. В нем содержится оплодотворенная клетка и питательная среда. И всегда с неизбежностью, при самых примитивных внешних воздействиях - всего лишь нужный тепловой режим и газообмен с окружающей средой - развивается сложнейшие организм по некоему единому плану, не задаваемому никем извне. Как взрыв, как цепная реакция происходит саморазвитие.
Есть ли возможность хоть как-то подобраться к пониманию этого ежесекундного чуда живого? Не управлять процессом извне, как мы привыкли делать в созданных нашими руками машинах, а возбуждать его естественное течение слабым толчком. Не поток постоянно идущих команд от внешнего по отношению к системе источника, а одноразовый приказ, всего один импульс, раскрепощающий внутренние силы самоорганизации этой системы, которые способны быстро выводить ее на адекватные данной среде структуры, то есть устойчиво в этой среде самоподдерживающиеся и разумно функционирующие. Вот это и значит как говорили древние мудрецы, "действовать в соответствии с путем Природы - путем Дао".
Конечно, биологические системы имеют свои собственные законы, тут со Шредингером никто спорить не собирается. Но вот так ли уж они отличны от тех, что действуют в неживой природе? Скажем, в плазме трудно найти область, где бы не было самопроизвольного возникновения определенных структур. Уже давно экспериментаторы наблюдали в ней процессы самоорганизации, например знаменитые структуры И. Ф. Кварцхавы, когда ток по плазме течет неоднородно, хотя внешнее воздействие на плазму все время остается постоянным. Сравнительно недавно группа ученых из Института прикладной математики АН СССР и Института теоретической и прикладной механики СО АН СССР, в которую входили академик А. А. Самарский и я, получила свидетельство об открытии ? 55, предмет которого - теоретическое обнаружение (впоследствии подтвержденное специально поставленными экспериментами) в плазме саморазвивающихся, самоподдерживающихся и даже размножающихся структур, так называемых Т-слоев.
Как видите, законы неживой природы все-таки в чем-то напоминают биологические, во всяком случае, едва ли стоит говорить об их абсолютной несовместимости. Порядок и там и тут рождается из хаоса, он - результат самоструктурирования среды. Да, конечно, законы живого и неживого различны, но они, "складываясь", образуют некие общие для всей природы законы, образ которых проступает в наших нынешних исследованиях нелинейности.
- Сейчас, после столь серьезной философской "артподготовки", самое время провести небольшую атаку на воображение читателей - дать хотя бы один ясный и доступный обыденному сознанию пример тех процессов, о которых вы только что говорили.
- Отчего же всего один? Извольте, вот вам несколько на выбор. В сковородку наливают не очень толстый слой масла, подсолнечного например, и ставят ее на огонь. Молекулы масла располагаются, естественно, самым беспорядочным образом. Но если перепад температур в слое масла достаточно велик, то приток тепла снизу и отвод его сверху приводит к тому, что благодаря возникающим в ней конвективным потокам жидкость приобретает четкую, ясно видимую даже невооруженным глазом структуру - шестиугольные ячейки, напоминающие пчелиные соты. На границах каждой ячейки возникают нисходящие струи жидкости, а в центре - восходящие. Это так называемый "бенар", пример гидродинамической неустойчивости, названный так по имени ученого, открывшего этот эффект еще в 1900 году. Согласитесь, порядок прямо на ваших глазах родился из хаоса.
Вам нужны еще примеры? Что ж, недаром говорят: если нечто нельзя постичь разумом, то приходится проникнуть в него сердцем. Прислушайтесь к собственному сердцу - в нем тоже постоянно текут удивительные, парадоксальные, а главное, существенно нелинейные процессы, подобные тому, о котором я только что сказал. Они называются автоволновыми, с легкой руки академика Р. В. Хохлова, который ввел этот термин в научный оборот. Автоволна движется по среде без всяческого затухания, сохраняя неизменной свою форму и величину. Потери на естественную убыль внутренней энергии в ней полностью компенсируются за счет подвода энергии извне. И так продолжается неограниченно долго: раз в секунду, пока мы живы, пробегает по мышечной ткани нашего сердца волна возбуждения. И электрокардиограмма свидетельствует, что дело обстоит именно так - налицо незатухающий периодический процесс.
Если же сердцем эту ситуацию постичь вам все же не удастся, то остается понять ее умом, ибо последние нейрофизиологические исследования дают основания предполагать, что обработка информации в коре головного мозга тоже ведется с помощью взаимодействия автоволн возбуждения и торможения, охватывающих обширные его участки, а не путем активности отдельных нейронов, как думали раньше, уподобляя деятельность мозга работе сегодняшних "элементных" ЭВМ. В известном смысле нынешнее стремление создать вычислительные машины совершенно нового типа - построить так называемые "нейрокомпьютеры" - базируется на все более ясно осознаваемом ощущении: пришла пора иных, несравненно более объемных задач, и потому необходимо загодя ковать для них совершенные орудия.
В ожидании их появления математики не сидели сложа руки: ими были в последние годы разработаны некоторые новые методы решения нелинейных дифференциальных уравнений. Если до сих пор в нашей беседе я позволял себе некое дилетантство, рассказывая о вещах, которые хотя и находятся в зоне пристального нашего внимания, но все-таки не являются предметом нашего профессионального знания, то теперь перехожу на твердую почву математики и математического моделирования.
Школьнику уже в младших классах известно, что алгебраическое уравнение первого порядка допускает одноединственное решение. Но если говорить о более сложных - дифференциальных уравнениях, тут уж ответом может быть целое семейство, и не чисел, а функции, каждая из которых после соответствующих подстановок дает, естественно, свои численные ответы.
Дело, однако, не в том, что растет количество ответов, а в том, что каждая из функции - это свой характер рассматриваемых процессов, порой очень своеобразный и непохожий на другие. Получается, что явления, описываемые нелинейными дифференциальными уравнениями, могут иметь сразу несколько типов поведения и количественные изменения могут приводить в них к качественным - бифуркациям, фазовым переходам, структурированию.
Теперь сам собой разумеющийся вопрос: что же это за системы, которые надо представлять такими удивительными уравнениями? Ответ мой, боюсь, покажется вам совсем уж диким: это практически все системы, что мы наблюдаем вокруг себя.
- Следует ли понимать вас в том смысле, что более глубокое изучение любого, даже хорошо нам известного явления, позволяет усмотреть в нем некоторые нелинейные эффекты?
- Да, это именно так, но я бы еще уточнил: описывая тот или иной природный феномен, часто стремятся построить такую математическую модель его, чтобы в нее входили только линейные уравнения, решать которые умеют. Поэтому неизбежны были упрощения, и исследователи сознательно мирились с ними, уповая на то, что неучтенные моделью факторы малосущественны. Теперь же, когда подобные упрощения более не являются обязательными, вскрылось, что некоторые из отброшенных при линеаризации особенностей решений в известных условиях могут играть важную, а порой и определяющую роль.
Ведь что такое, в конечном итоге, нелинейность, если говорить о ней в научных терминах? Это значит, что несправедлив принцип суперпозиции (то есть наложения): нельзя утверждать, что воздействие на систему одновременно причин А и Б равно сумме воздействий на нее этих причин по отдельности. Пусть причина А увеличивает нечто в системе в два раза, а причина Б - в три раза. Но вместе они увеличат это нечто не в шесть, а, скажем, в двадцать раз. Так может получаться, например, в тех случаях, когда до какой-то границы система ведет себя пропорционально внешним воздействиям, а за ней - скачком меняет свои свойства. Описать систему математически с учетом присущих ей нелинейностей - это значит учесть многие режимы, "незаметные глазу", но существующие в реальности.
Одно из первых нелинейных уравнений, позволивших обнаружить такие важные аномалии, было выведено еще в прошлом веке Д. Кортевегом, заведовавшим кафедрой математики и механики Амстердамского университета, и его учеником, де Фризом, исследовавшими распространение волн в жидкой среде. Как писал в семидесятых годах уже нашего века американский математик М. Крускал, "Кортевег и де Фриз, по-видимому, предложили простейшее дифференциальное уравнение... не охватываемое классическими методами".
Это уравнение, как всякое дифференциальное уравнение в частных производных, имеет несколько решений. Чтобы выбрать одно из них, необходимо задаться начальными условиями. И вот, когда, варьируя их, стали анализировать эволюцию одного из решений, математики пришли к поразившей их ситуации: при определенных условиях решение уравнения Кортевега - де Фриза представляет собой систему уединенных волн, каждая из которых движется со своей собственной постоянной скоростью, при этом - хотя уравнение сугубо нелинейное! - сохраняя свою форму и амплитуду. Более того, одна такая волна - их назвали солитонами - может догнать другую и даже пройти сквозь нее, не изменив своей структуры.
- Позвольте задать вам вопрос, быть может, излишне приземленный: имеют ли эти безусловно интересные математические исследования какое-либо, пусть самое отдаленное, отношение к практическим нуждам сегодняшнего дня?
- Самое непосредственное. Как вам должно быть известно, наиболее перспективным видом связи сейчас считают оптическую: одна пара оптических волокон может пропустить в секунду 90 миллионов бит информации, что соответствует примерно 1400 одновременно идущим телефонным переговорам. Большего достичь не удается лишь потому, что оптический импульс "размывается". Фирма "Белл" провела недавно исследования, которые показывают, что уравнения, описывающие прохождение импульсов по оптическому волокну, не слишком отличаются от тех, решение которых допускает появление солитонов. Солитоны же очень устойчивы к "размыванию", они великолепно "держат форму", поскольку имеют свойство, чрезвычайно похожее на регенерацию у живых систем: если, например, срезать часть максимума уединенной волны, то причиненный ей ущерб возместится - солитон самовосстановится. В связи с этим специалисты считают, что удастся сформировать весьма короткие солитонные импульсы и обеспечить таким образом чрезвычайно высокую скорость передачи информации - порядка десяти, а быть может, даже и ста миллиардов бит в секунду. Полагаю, улучшение свойств канала связи в тысячу раз вы не посчитаете чисто математическим упражнением, не имеющим отношения к запросам практики?
- Сергей Павлович, мой предыдущий вопрос не следовало понимать в том смысле, что в наше время кто-то еще думает, будто от фундаментальной науки, в том числе математики, следует ждать сиюминутной отдачи. Нет, говоря о практических нуждах сегодняшнего дня, я хотел лишь узнать, складываются ли неожиданности типа появления солитонов в некую единую картину. Другими словами, рождается ли на наших глазах некая общая теория нелинейных процессов или же пока еще налицо лишь чисто феноменологический подход к наблюдаемым необычным явлениям?
- Я бы сказал так: мы стоим на пороге создания такой теории. Огромное разнообразие и сложность нелинейных задач все-таки не помешали выделить простейшие элементы и понятия, которые встречаются практически в каждой из них. Об этом мне хотелось бы поговорить несколько подробнее.
Прежде всего должен сказать о таком практически неизбежном для любой нелинейной системы явлении, как бифуркация (расслоение) решений. Вот добрался сказочный богатырь до лежень-камня, а на нем написано, что впереди не одна, а три различные возможности: направо поедешь - коня потеряешь, налево поедешь - головы не сносишь, а прямо поедешь - красну девицу сыщешь. Можно пример и более реалистический. На прямоугольную в сечении колонну сверху давит все увеличивающийся и увеличивающийся вес. До какого-то предела колонна наша укорачивается и утолщается, оставаясь при этом прямой. Но при некоторой критической для нее нагрузке она все-таки прогнется - вправо или влево. То есть было одно состояние равновесия - стало два. Это типично нелинейное явление. Таких ветвлений-бифуркаций может быть несколько, и по одному этому ясно, насколько велико число возможных решений даже самого простого нелинейного уравнения.
Другое крайне важное для понимания протекающих в нелинейных системах процессов понятие - притягивающее множество, или аттрактор (от английского to attract - притягивать). Это совокупность точек, к которой стремятся, "притягиваются" все близкие решения. Как ни вольно ведут себя решения нелинейных уравнений, но все-таки и они подчинены строгим законам: попав в зону притяжения аттрактора, решение "сваливается" на него, как камень на Землю.
И наконец, такое фундаментальное понятие, как диссипативные структуры, которое ввел в научный оборот Илья Пригожин. Один из наиболее простых и наглядных примеров таких структур - тот же "бенар", конвективная ячейка. Ведь она имеет строго определенные размеры, которые не зависят от окружающей среды - скажем, от величины сковородки, на которую налит слой масла. Вся суть эффекта состоит именно в том, что в определенных классах открытых систем, то есть систем, и рассеивающих свою энергию в окружающее пространство, и имеющих подвод энергии извне, возникает самоорганизация - образуется некая структура, определяемая собственными свойствами системы, диссипативная структура. О ней можно сказать и по-иному: гидродинамическая неустойчивость подогреваемого слоя масла приводит к возникновению конвекционных потоков, вызывает неравновесность системы, а она, в свою очередь, становится причиной возникновения в системе порядка из хаоса. Локализованные в среде процессы - диссипативные структуры подобного рода - наблюдаются в природе не так уж редко.
"Между упорядоченностью, устойчивостью и диссипацией возникает в высшей степени нетривиальная связь, - пишут в своей знаменитой книге "Самоорганизация в неравновесных системах" Г. Николис и И. Пригожий. - Диссипативные структуры являют собой поразительный пример, демонстрирующий способность неравновесности служить источником упорядоченности".
Бифуркации, то есть немыслимые в линейных системах ветвления решений уравнений, описывающих нелинейные системы, когда процесс может идти один раз тем, а другой - иным путем, тоже, в свою очередь, связаны и с аттракторами, и с диссипативными структурами. Можно было бы привести тому массу доказательств, но остановлюсь всего на одной сравнительно недавней истории. Английский математик Алан Тьюринг в ряду других своих разнообразных интересов занялся вопросом о том, как клетки организма узнают о том, какой именно орган им надлежит образовывать в ходе развития. Ведь в каждой из них содержится одна и та же генетическая информация, и клетка, ставшая впоследствии частью печени, в этом смысле ничем ранее не отличалась от соседней, превратившейся в элемент сердечной мышцы. Тьюринг предположил, что формообразованием - морфогенезом - в организме могут управлять химические процессы. И вопрос, поставленный им перед самим собой, звучал примерно так: возможно ли из самых простейших химических представлений вывести необходимость возникновения структур в первоначально однородной ткани?
Ход его рассуждений был несложен. Пусть одно химическое вещество стимулирует рост ткани, а другое, наоборот, замедляет его. (Сейчас, спустя тридцать лет после этих его исследований, мы знаем, что такие вещества и вправду существуют, - это разного рода активаторы и ингибиторы, во множестве и хорошо известные нынешним биологам, но тогда предположение Тьюринга было всего лишь гипотезой.) В тех областях пространства, где первого вещества много, а второго мало, рост клеток станет идти особенно интенсивно. В результате кропотливого математического анализа с использованием всех упомянутых понятий выяснилась вещь поистине поразительная. Получилось, что, учитывая в уравнениях лишь простейшие химические реакции и диффузию, можно объяснить крайне сложное явление - появление пространственной неоднородности, возникновение структур, то есть в конечном итоге - сделать шаг к пониманию морфогенеза.
- Боюсь, мало кто из биологов согласится с вами. Едва ли на самом деле морфогенез можно считать объясненным и даже описанным на математическом языке.
- Никто и не утверждает ничего подобного! Работа Тьюринга отнюдь не претендовала на полное решение проблемы формообразования в живом мире. Но она оказалась пророческой в том смысле, что предложенные им простейшие модели дали жизнь более тонким исследованиям живой ткани. Кроме того, подобные решения были найдены в моделях химии, физики плазмы, гидродинамики и даже экономики. То есть обнаружилась всеобщность процесса образования структуры из однородной среды, когда выполняются все те же названные в нашей беседе условия, - система открытая, а уравнения, описывающие протекающие в ней процессы, нелинейные.
Отчего же тогда представления о появлении порядка из хаоса, о самоорганизации в живой природе не стали до сих пор всеобщим достоянием? Почему ко всем этим работам отношение сегодня сложилось настороженное, на каком основании многие ученые считают их в лучшем случае математической экзотикой, любопытными, но далекими от реальности выкладками? Думаю, дело в том, что научные парадигмы меняются медленно, с трудом, с вполне понятным внутренним сопротивлением. Переход от классической ньютонианской физики к эйнштейновским взглядам на мир занял достаточно много времени, да и до сих пор мы, по чести говоря, не можем считать его совершившимся окончательно. Та же ситуация и в нашем случае. Тьюринг, например, опубликовал свою работу еще в 1952 году в трудах английского Королевского общества, но она практически никем не была замечена.
Да, таких примеров немало даже и в более отдаленные от нас времена. В 1928 году на Съезде русских физиков с докладом выступил аспирант Московского университета А. А. Андронов, впоследствии ставший академиком, главой целой научной школы. Доклад его носил название "Предельные циклы Пуанкаре и теория колебаний". Это небольшое, всего на полторы страницы, сообщение положило, по сути дела, начало многим из нынешних наших работ. Андронов предложил применить к изучению колебаний математический аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, разработанной Анри Пуанкаре еще в конце прошлого века. До Андронова считалось, что работы эти имеют лишь чисто математическую, абстрактную ценность, он же сумел увидеть их связь с задачами практики. О них мы с вами уже говорили, но только не называя имен Пуанкаре и Андронова. Между тем написанная А. А. Андроновым совместно с А. А. Виттом и С. Э. Хайкиным в 1937 году книга "Теория колебаний" только сейчас оценена по-настоящему, а быть может, и теперь еще до конца не понята.
Таким образом, наши работы родились не на пустом месте - мы вправе гордиться своими предшественниками. И среди них обязательно следует назвать крупнейших советских математиков академика Андрея Николаевича Колмогорова и академика Ивана Георгиевича Петровского, которые совместно с Н. С. Пискуновым задолго до работы А. Тьюринга, еще в 1937 году, опубликовали статью, где содержались весьма схожие идеи.
Сергей Павлович, в беседе, опубликованной в прошлом номере нашего журнала, вы рассказывали о ряде революционных открытий в математике и синергетике. Как лично вы вступили на новую дорогу в исследованиях, каким образом открытые нелинейные системы оказались в центре вашего внимания?
- Что касается открытости систем, то закрытых в природе, по сути дела, нет. Это только термос, в котором заключена нагретая жидкость, да еще несколько столь же редко встречающихся искусственно созданных конструкций удовлетворяют требованию автономности от среды. В них, действительно, все процессы идут к выравниванию температур, неоднородностей, всплесков. В жизни же любая система связана потоками энергии и вещества с окружающим миром. И почти те же самые слова я мог бы сказать о нелинейности. Копни чуть глубже - и ты всегда ее обнаружишь. Правда, у многих открытых систем есть термодинамическая ветвь, но важно, что это не единственный путь их развития.
Я работаю в Институте прикладной математики имени М. В. Келдыша АН СССР и многие годы участвую в математическом моделировании различных физических, технических и - совсем немного - биологических процессов. В частности, вместе с академиком А. А. Самарским я участвовал в постановке вычислительного эксперимента в области физики высокотемпературной плазмы. Там присутствует термоядерный источник тепла, который с ростом температуры начинает работать интенсивнее, а это, в свою очередь, вызывает повышение температуры. Уравнения, описывающие процессы в плазме, существенно нелинейные. Чтобы решить их, необходимо использовать мощные компьютеры. Этим как раз мы и были заняты. И вот в процессе получения решений этих и подобных им нелинейных дифференциальных уравнений постепенно рождались мысли, о которых вкратце шел рассказ в прошлый раз.
Что же до плазмы, то новая идеология позволила понять, что в ней образуются области локализации процессов - структуры, неоднородности - и, чтобы их возбудить, энергию надо подавать не вообще куда-нибудь, а в строго определенные "точки акупунктуры", что дело даже не в самой подводимой энергии, а в топологии ее распределения в пространстве. Кроме того, события, происходящие в нелинейных средах, вызывают в памяти древний символ "инь-ян": для поддержания динамического равновесия включаются процессы, противоположные только что действовавшим.
- Сергей Павлович, случайно ли в вашей лексике появились явно выраженные восточные элементы: акупунктура, инь-ян?
- Наверное, нет, не случайно. Мои коллеги, да в какой-то мере и я, с большим вниманием изучаем различные представления о мире, сложившиеся у людей в разные эпохи и в разных странах. В этом особенно интересны инварианты культуры, позволяющие уйти от господствующей парадигмы, "расшатать" наше видение мира, обнаружить новые способы его постижения. В частности, очень важно знакомство с основами восточных философий. Тут огромную помощь оказала нам "Японская художественная традиция", книга, написанная Татьяной Петровной Григорьевой. Удалось обнаружить не менее двухсот совпадений мыслей и взглядов, о которых идет речь в этой работе, с тем, чем заняты ученые в науке о самоорганизации - синергетике. Конечно, это игра ума, но игра конструктивная, эвристичная, позволяющая увидеть нечто новое или как минимум разглядеть аналогию во внешне ничем не похожих вещах. И главное: древние мудрецы рассуждали о хаосе и порядке, о внутреннем устройстве мира, то есть о тех же самых вещах, что волнуют теперь и нас.
Привести пример, характерный для изучаемых совпадений в воззрениях древних философов и некоторых нынешних математических исследованиях, не так легко - разговор получается слишком уж специальным. Но вот вам ситуация, описанная в одной из наших работ. Выяснилось, что в некоторых пространственных точках тепловых структур процессы идут так, как они шли во всем объеме системы в прошлом, а в некоторых - так, как им еще только предстоит протекать в будущем по всей структуре. В то же время все эти участки существуют в настоящем. Это не просто рассуждения, но вполне точный математический результат. И в древних учениях мы тоже находим указание на то, что будущее (!) и прошлое переплетены в настоящем.
Дело в том, что в современной математике интенсивно развивается аппарат, позволяющий ответить на вопросы: куда идут процессы, каковы внутренние тенденции развития процессов, когда пройдет достаточно много времени? Для некоторых классов нелинейных уравнений удалось установить, что развитая стадия процессов приводит к возникновению структур различных типов, описываемых так называемыми инвариантно-групповыми решениями. Эти решения играют роль аналогов второго начала для открытых нелинейных систем. В них пространство и время не свободны, а связаны инвариантами. Для определенных типов инвариантно-групповых решений показано, что процессы вблизи центра сегодня идут, как шли во всей структуре в прошлом, а на периферии структуры сейчас идут, как пойдут во всей структуре в будущем.
Одна из задач, которую мы тут решаем, - избавление от въевшихся в сознание мифов, будто внешним воздействием на сложную систему ее всегда можно коренным образом перестроить, как нам хочется. Нет, это странный для нашего времени идеализм.
Мозг, психика, экономика, экология - все это сложнейшие, если их попытаться описать математически, открытые нелинейные системы, и управлять ими "командными", "административными" методами не удается, необходимо учитывать структурирование, происходящее в них по законам самих этих систем. Древние мудрецы понимали это, как ни обидно, куда лучше нас, идея саморазвития сущего была им доступна, более того, определяла их философию, их мировоззрение. На Древнем Востоке, в Элладе философы развивали идеи о непроявленных потенциальных формах, скрытых в едином начале.
Конечно, рассуждения их были чисто умозрительными, они не обладали ни математическим аппаратом, ни методологией проверки своих идей в эксперименте. Сегодня же экспериментально и на математических моделях обнаружено, что в природе - в химии, физике плазмы, в твердом теле, в астрофизике, в некоторых активных биологических средах (например, в процессах, идущих в сердечной ткани) - существуют многочисленные явления самоорганизации и возникновения структур в виде локализованных на определенных участках среды процессов или же процессов, имеющих определенную геометрическую форму и перемещающихся по среде.
Но, конечно, это происходит не во всех средах и далеко не при всех условиях. Поэтому необходимо установить, какие именно среды способны к самоорганизации, какие структуры возникают на них, единственна ли создающаяся структура или возможен целый спектр их, как все это зависит от свойств среды, ее параметров.
Так, в синергетике ставится одна из фундаментальных задач этой науки - поиск собственных функций нелинейной среды, то есть устойчивых способов организации процессов в ней, которые ей адекватны и к которым эволюционируют все другие состояния среды.
А дальше возникает вопрос уже почти чисто философского звучания. Вот перед нами некая среда, и мы, пользуясь определенным запасом энергии и свойственной человеку уверенностью, будто ему дозволено делать с природой все, что заблагорассудится, пытаемся навязать этой среде какую-то организацию, - например, заставляем ее быть нагретой до высокой температуры в определенной области, удерживаем ее в некоторой геометрической конфигурации внешними полями, и так далее. Очень часто так именно и поступают, даже с экологической средой. И именно экология показала, что с открытой нелинейной системой подобный подход не дает ожидаемых результатов. Если не учитывать собственные тенденции развития процессов в данной среде, то, как ни старайся, ничего на ней не построишь. Можно как угодно менять характер воздействия на нее, деформировать ее самым жестоким образом, а она все равно "свалится" на одно из устойчивых своих состоянии - на свои собственные функции.
Это правила запрета. Они говорят, что бессмысленно тратить энергию и время на насилие над сложными системами. Надо знать, как они функционируют, и с минимальными усилиями возбуждать то, что им адекватно. Нужно учитывать собственные реакции системы на внешние воздействия.
Кстати, об умозрительности и абстрактности рассуждений, свойственных ученым древности. Вовсе не в старинных фолиантах, а во вполне современных изданиях приходилось читать, например, что некий американский специалист по математической биологии, попав на конгресс по синергетике в ФРГ и прослушав доклад о не раз уже упоминавшейся нами гидродинамической неустойчивости, приводящей к возникновению бенара, вдруг пришел к выводу, что ячейки эти похожи на рисунки наркоманов, когда тех просили изобразить по памяти свои зрительные галлюцинации. И тут же родилась гипотеза: наркотики действуют на психику таким образом, что изображение, которое видит человек, становится неустойчивым. Однако при определенной дозировке перед глазами наркомана возникают устойчивые структуры, организованные наподобие "бенаров". Чем эта гипотеза современного ученого лучше и серьезнее, нежели критикуемые нами за свою "поверхностность" и "недоказанность" утверждения древних?
- Позвольте тогда уж и мне привести цитату, заранее заготовленную перед встречей с вами. Фримен Дайсон, американский физик-теоретик, в работе "Нарушая покой Вселенной" писал: "По мере того, как будут углубляться наши знания в биологии, мы столкнемся с тем, что различия между биологией и электроникой станут все более стираться". Как выглядит эта в высшей степени непривычная мысль в свете нынешних исследований? В самом ли деле пришла пора утверждать, что наука вплотную подобралась к пониманию единых основ всего сущего, живого и неживого, естественного, природного и искусственного, созданного рукой человека, - "биологии" и "электроники", если пользоваться терминами Ф. Дайсона?
- Слова его не надо, конечно, воспринимать буквально. То, что сделано сегодня, - только приближение к некоторому очень важному и кардинальному рубежу, только предчувствие грядущих радикальных перемен. Создаваемые математиками методы решения нелинейных дифференциальных уравнений - это пока не слишком универсальный инструмент для проникновения в тайны пространственно-временной архитектуры тех сложнейших систем, что окружают нас.
И в то же время нельзя не сказать, что прорыв в доселе неизвестную область все-таки сделан. Он стал возможным благодаря появлению мощных компьютеров, ибо практически все предлагаемые нами способы решения требуют гигантских вычислительных возможностей, которыми прежние ЭВМ не обладали. Тьюрингу же вообще приходилось просчитывать свои модели морфогенеза вручную, и он пророчески указывал в своей работе, что более точный и полный анализ, возможный при использовании компьютера, позволит глубже понять суть явлений, описанных им лишь приблизительно. Появление в научных подразделениях современной могучей вычислительной техники не просто облегчает труд ученых и расширяет диапазон их исследований, - на мой взгляд, нынешняя тотальная компьютеризация способна изменить парадигму науки.
Взять те же нелинейные дифференциальные уравнения. Точное, аналитическое решение их мы в подавляющем большинстве случаев получить не в силах, численные же решения ранее даже не рассматривались ввиду необозримого объема работы. Поэтому вольно или невольно все наблюдаемые процессы сводились к более простым, линейным, мы как бы закрывали глаза на то, что природа вовсе не обязана быть такой, чтобы нам удобно было описывать ее теми уравнениями, с которыми мы знаем, как работать. Теперь же этот внутренний запрет не давит более на сознание исследователя. Мы все больше сознаем, что мир - это эволюция нелинейных систем, что он многомерен, многовариантен.
Как классическая ньютонианская физика оказалась лишь частным случаем релятивистской эйнштейновской, так и закрытые системы, и стремление процессов к термодинамической ветви, по преимуществу изучаемые нами до сих пор, выглядят теперь лишь вырожденными открытыми, или частным случаем неравновесной термодинамики. И точно так же нелинейная вселенная гораздо богаче "линейного" мира, ибо она включает его в себя как одну из миллионов возможностей. Поэтому нелинейные уравнения, к пониманию которых мы с помощью вычислительных машин и нелинейной математической физики теперь подошли совсем близко, соединяют в себе множество линейных, привычных уравнений, то есть и тут мы поднимаемся на следующий этаж общности, генерализации нашего взгляда на природу и присущие ей законы.
- В таком случае хотелось, чтобы в заключение вы сказали хотя бы несколько слов об этих новых законах, контуры которых стали проглядывать в исследованиях нелинейных структур.
- Поскольку речь пойдет о вещах сугубо научных, о математике, доступной лишь профессионалам, я вынужден быть весьма приблизительным в своих словах. С этой оговоркой прежде всего хочу сказать о теории универсальности, построенной американским математиком М. Фейгенбаумом. Он успешно использовал в своей работе ЭВМ и сумел вывести удивительные закономерности.
Между хаосом и порядком существует, как выяснилось, глубокая связь, которую удалось зафиксировать с помощью уравнений, относящихся к классу так называемых функциональных, теория которых начала усиленно развиваться в последнее время. Непериодический, случайный процесс возникает как предел все более сложных структур, хаос появляется в результате сверхсложной организации! Можно сказать, что системы, где наблюдаются множественные ветвления - бифуркации, достигают в своем развитии такой степени запутанности, что эта сложность становится уже беспорядком - детерминированным хаосом, как принято говорить в таких случаях в науке. Это вывод чрезвычайно общий - он относится, например, и к моделям экологии, и к моделям гидродинамики, и во многих случаях теория универсальности дает важные качественные предсказания.
Разговоры о свойствах хаоса - отнюдь не абстрактные упражнения математического ума. Задач, где хаотические режимы представляют особый интерес, сейчас появилось в изобилии. Например, установлено, что за прошедшие несколько миллионов лет магнитное поле нашей планеты много раз меняло свою ориентацию, вероятно, хаотическим образом. Но вот теперь оказалось, что в самой простейшей модели, состоящей всего из двух вращающихся дисков, магнитные поля которых взаимодействуют, обнаруживаются подобные же явления. Они выявились при решении системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений, где есть странный аттрактор - это так называемая модель динамо Рикитаке.
Другой пример - локализация Андерсона, явление, состоящее в том, что если создать нерегулярную, хаотическую решетку взамен периодической структуры, свойственной решеткам кристаллов, то электрон, движущийся через нее, оказывается локализованным на определенном участке пространства. Классическая задача физики твердого тела допускает, таким образом, совершенно новое, нетривиальное решение. Локализация Андерсона и сама по себе имеет большое теоретическое и даже прикладное значение, но важно еще, что с ее помощью физики надеются решить одну из самых фундаментальных проблем своей науки - феномен пленения кварков. Суть ее вот в чем. Длительные, дорогостоящие и очень непростые эксперименты, проведенные на гигантских ускорителях, до сих пор не позволили разбить элементарные частицы на составляющие их кварки. И многие физики постепенно приходят к выводу, что усложнение техники, совершенствование методики опытов ничего не дадут, - дело не в недостатках постановки экспериментов, а в фундаментальных свойствах материи. А именно выдвигается идея: на сверхмалых масштабах и временах ее неотъемлемое качество - хаос. Если выяснится, что предположение это истинно, то эффект пленения кварков и локализация Андерсона могут оказаться близкими по сути явлениями.
Таким, образом, новые представления развеивают один из мифов старой парадигмы, согласно которому любой процесс в конечном итоге приходит в своем развитии к термодинамической ветви, то есть к выравниванию, деструкции, максимуму энтропии. Диссипативные процессы оказываются не злом, не фактором разрушения, а важной составной частью самоорганизации. Ведь что такое по сути своей диссипация? Это хаос на микроуровне: теплопроводность, диффузия, вязкость - все они обусловлены хаотическим движением атомов и молекул. И вот теперь становится ясным, что хаос на микроуровне играет существенную роль в определении тенденций, "целей" различных процессов на макроуровне. Более того, без него ничего не получается. В синергетике существует даже принцип, пока правда полуэмпирический, то есть строго не доказанный: в любой сложной самоорганизующейся нелинейной системе должны быть диссипативные процессы, другими словами - необходима определенная доля хаоса на микроуровне, которая играет роль силы, выводящей систему в область создания сложной структуры.
Есть некоторые, пусть пока и осторожные, основания полагать, что подобный принцип применим и к социально-экономическим системам, во всяком случае в работах основоположников синергетики Пригожина и Хакена есть неоднократные ссылки на экономические и социологические труды. Вот мы стремимся сейчас придать хозяйственному механизму большую динамичность, способность к самоорганизации с помощью элементов хозрасчета, через растущую роль денежного обмена. "Рыночный хаос" призван сыграть роль случайного процесса, который, независимо от желания и указаний, должен вывести народное хозяйство на определенные типы структур в "экономической среде". Разумеется, эти рассуждения - не более чем аналогии, но они важны, ибо основываются на самых общих принципах сложных систем. Конечно, из них пока не следует конструктивных рекомендаций для экономики, социологии, экологии, но они дают фундаментально новые представления о законах развития изучаемых этими науками открытых нелинейных систем.
Если же, отвечая на ваш вопрос, говорить о делах более конкретных, то в последние годы открыты закономерности объединения простых структур в сложные - установлен своего рода "принцип суперпозиции" для определенного класса нестационарных нелинейных систем. Он основан не на складывании частных решений, которое в данном случае невозможно, а на их своеобразном "пересечении" с возникающим при этом дефектом мощности процесса, который на квазистационарной стадии аналогичен дефекту массы и энергии при объединении ядерных частиц.
Еще один вклад в изменение устаревших взглядов на законы развития открытых нелинейных систем состоит в том, что теоретически доказана принципиальная множественность путей их саморазвития. Разработан математический аппарат, позволяющий для пока простого класса нелинейных моделей предсказать спектр собственных функций и способы инициирования их в данной среде. В зависимости от степени нелинейности модели таких путей и соответствующих им структур даже в простейших теоретически исследованных средах может быть хоть 1015. Это гигантское число красноречиво говорит о том, что и самые простые нелинейные модели глубоко содержательны. Они описывают огромный класс структур. Структуры эти могут быть весьма разнообразными - иметь различную архитектуру. Получается, что одна и та же среда способна содержать в себе практически необъятное многообразие форм и путей их развития. Это обстоятельство чрезвычайно подкупает. Во-первых, для некоторых простых сред удается сформулировать новые математические методы, - например, ряд новых методов изучения решений нелинейного уравнения диффузии, описывающих развитую нелинейную стадию и выход из нее. А во-вторых - свести многообразие форм различных структур к единому началу, к среде, в которой в потенциальной, непроявленной форме уже содержатся все возможные для данной среды структуры.
Эти подходы означают, что и в такой среде, как наука, появилась методология борьбы с бесконечной дифференциацией дисциплин, возник новый мощный интегративный импульс. Между тем одна из главных целей научного познания мира - увидеть общий корень у самых различных явлений.
Кроме того, из сказанного следуют и выводы мировоззренческого порядка. Раз существует много путей развития процессов, значит, нет жесткого детерминизма, железной предопределенности, заданности. В то же время в момент бифуркации (неустойчивости) решения выбор того или иного пути происходит случайно, но все-таки не как угодно, а на поле возможных решений.
Видна аналогия с детерминированным вероятностным поведением элементарных частиц, но в отличие от квантовой механики оно не постулируется, а вытекает из свойств нелинейных систем строго математически. Например, в уже упоминавшейся в нашей беседе задаче Тьюринга возможно несколько путей развития, ведущих к различным стационарным структурам. Какой из них будет выбран - каждый раз решает случай: флюктуации в данный миг толкнут систему к одному пути, в следующий - к другому. Система закономерным образом скатывается к одному из присущих ей аттракторов, но к какому именно в каждый момент - заранее предугадать невозможно. Закономерность и случайность проявляют себя на разных стадиях, создавая возможности и для устойчивости, и для изменчивости эволюционного процесса, а следовательно, и для отбора путей развития, учитывающих и черты внешней ситуации. В этой особенности развития нелинейных систем видно триединство: предопределенность поля путей возможного развития (аналог второго начала термодинамики), возможность вероятностного движения по этому полю (изменчивость) и, наконец, работа отбора, обусловленного внешними влияниями (приспособляемость). И в создаваемых моделях нелинейных систем видны механизмы, осуществляющие это триединство.
Особого внимания заслуживают так называемые режимы с обострением, то есть такие, где величины в некоторых точках растут неограниченно за конечный промежуток времени. Режимы эти подробно исследованы большой группой ученых Института прикладной математики АН СССР и МГУ под руководством академика А. А. Самарского, сотрудником и учеником которого являюсь и я. Но это - отдельная тема, и не хотелось бы комкать разговор о ней. Скажу лишь, что режимы эти связаны с локализацией процессов в пространстве. Кажется парадоксальным, но, скажем, при определенных условиях горение способно идти таким образом, что без всякого внешнего удержания тепло самолокализуется. Так происходит, например, при лазерном термоядерном синтезе - без этого мишень не "зажигается". Однако теоретический выход эффектов локализации тепла и горения гораздо шире их применения в высокотемпературной плазме. Локализация связана с определенным классом режимов с обострением, которые, в свою очередь, порождаются нелинейной зависимостью источника тепла от температуры. Это необычайно своеобразный мир сверхбыстрых процессов.
С такими новыми представлениями связаны и другие парадоксальные явления. Скажем, теоретически обнаружена возможность существования области локализации тепла в виде кристалла, с ребрами и гранями, отделяющими места с высокой температурой от окружающего пространства. Расчеты показывают, что если максимальная температура в таком кристалле ограничена электрон-вольтами, а размеры его - парсеками, то такое космическое "теплотело" может существовать, не изменяя своей кристаллической формы, миллионы лет. Возможны и другие кажущиеся невероятными явления: попятное движение во времени в некоторых открытых диссипативных системах. Мир предстает перед нами не как составленный из отдельных "кирпичиков" (атомов), а в виде процессов наподобие вихрей, турбулентностей, волн, солитонов, диссипативных структур. Вдумайтесь, насколько фундаментальна эта идея. Простейшая среда по некоторым вполне строгим законам пятнается особыми точками, областями, структурами. А хаос в ней играет не только роль "подталкивателя" к свойственным самой среде состояниям, но и роль клея: он согласует между собой отдельные процессы, соединяя простые структуры в сложные, действуя как опытный, хотя и незаметный режиссер.
Это, однако, повторяю, предмет специального обсуждения, которое, надеюсь, у нас с вами рано или поздно состоится.
А вот внимание читателя хотел бы обратить на книги серии "Кибернетика - неограниченные возможности и возможные ограничения". В ней вышли "Информатика и научно-технический прогресс" (издательство "Наука", 1987 год), "Компьютеры, модели, вычислительный эксперимент. Введение в информатику со стороны математического моделирования" (издательство "Наука, 1988 год), "Компьютеры, модели, нелинейные явления" (издательство "Наука", 1988 год). И еще - книга А. А. Самарского и А. П. Михайлова "Компьютеры и жизнь" (серия "Ученые - школьнику", издательство "Педагогика", 1987 год).
Фрактальность
"ЗС" ? 5/1993
Мир, окружающий нас, постоянно меняет свой облик. Отнюдь не последний вклад в эти перемены вносит наука, порождая новые понятия, новые средства описания и исследования привычных или только что открытых объектов. Понятийный арсенал науки пополняется порой с необыкновенной быстротой - так, что вчера еще надежный ее инструментарий оказывается устаревшим. Иные новые понятия жестко выбраковываются, и лишь прошедшим суровую проверку на "выживаемость" суждено оставить свой след в науке. Ну а каким-то дано перейти в понятийный базис не только "своей" области знаний, но получить статус междисциплинарного.
Вот обсуждению таких, выходящих за узкоспециальные рамки, понятий нам и хотелось бы посвятить ряд публикаций. Отметим лишь, что перу автора "Фрактальности" принадлежит и статья "Нелинейность" (? 11 за 1982 год), уже обозначившая контуры новой рубрики.
В начале было слово
Слова "фрактал", "фрактальная размерность", "фрактальность" появились в научной литературе сравнительно недавно и не успели еще войти в большинство словарей, справочников и энциклопедий. Придумал слово "фрактал" (от латинского "фрактус" - дробный, нецелый) наш современник, математик Бенуа Мандельброт, сумевший открыть совсем рядом с нами поистине удивительный мир, по-новому (или, по крайней мере, несколько иначе) взглянув на многие, казалось бы, хорошо знакомые предметы и явления.
Мандельброт обратил внимание на то, что при всей своей очевидности ускользало от его предшественников, хотя встречалось на каждом шагу и буквально "лежало на поверхности": контуры, поверхности и объемы окружающих нас предметов не так ровны, гладки и совершенны, как принято думать. В действительности они неровны, шершавы, изъязвлены множеством отверстий самой причудливой формы, пронизаны трещинами и порами, покрыты сетью морщин, царапин и кракелюр.
В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру неидеальности объектов - извилистости контура, морщинистости поверхности, трещиноватости и пористости объема. Ее предложили два математика - Феликс Хаусдорф (1868- 1942) и Абрам Самойлович Безикович (1891-1970). Ныне она заслуженно носит славные имена своих создателей (размерность Хаусдорфа - Безиковича).
Как и всякая новая количественная характеристика, размерность Хаусдорфа - Безиковича должна была пройти проверку на разумность и блестяще ее выдержала. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и известная задолго до нее так называемая топологическая размерность (иначе говоря, была равна нулю для точки, единице - для гладкой плавной линии, двум - для фигуры и поверхности, трем - для тела и пространства). Но совпадая со старой, топологической, размерностью на идеальных объектах, новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Так, отрезок прямой, отрезок синусоиды и самый причудливый меандр неразличимы с точки зрения топологической размерности - все они имеют топологическую размерность, равную единице, тогда как их размерность Хаусдорфа - Безиковича различна и позволяет числом измерять степень извилистости.
Но самое необычное (правильнее было бы сказать - непривычное) в размерности Хаусдорфа - Безиковича было то, что она могла принимать не только целые, как топологическая размерность, но и дробные значения. Равная единице для прямой (бесконечной, полубесконечной или для конечного отрезка), размерность Хаусдорфа - Безиковича увеличивается по мере возрастания извилистости, тогда как топологическая размерность упорно игнорирует все изменения, происходящие с линией, если только они не сопровождаются разрывом или склеиванием каких-то точек. При этом, увеличивая свое значение, размерность Хаусдорфа - Безиковича не меняет его скачком, как сделала бы "на ее месте" топологическая размерность. Нет, размерность Хаусдорфа - Безиковича - и это на первый взгляд может показаться непривычным и удивительным - принимает дробные значения: равная единице для прямой, она становится равной 1,02 для слегка извилистой линии, 1,15 - для более извилистой, 1,53 - для очень извилистой и т. д.
Именно для того чтобы особо подчеркнуть способность размерности Хаусдорфа - Безиковича принимать дробные, нецелые, значения, Мандельброт и придумал свой неологизм, назвав ее фрактальной размерностью. Итак, фрактальная размерность (не только Хаусдорфа - Безиковича, но и любая другая) - это размерность, способная принимать не обязательно целые значения, фрактал - объект с фрактальной, размерностью, а фрактальность - свойство объекта быть фракталом или размерности быть фрактальной.
Дробная размерность?! Немало найдется таких, кто с негодованием скажет, что "это уж слишком", что ни о чем таком не слыхивали ни они сами, ни их отцы и деды. Такого рода аргументы, более эмоциональные, нежели убедительные, свидетельствуют лишь о незнании работ Хаусдорфа и Безиковича. Иное дело - ссылка на то, что отцы и деды не слыхивали о фрактальной размерности: при всей синонимичности дробного и фрактального, термин "фрактальный" появился лишь в работах Бенуа Мандельброта и заведомо не был известен людям старшего поколения. Тем же, кто станет возражать против "нелепой" (разумеется, только с их точки зрения) дробной размерности, ссылаясь на невозможность придать ей наглядный смысл, мы скажем: во-первых, никто не присягал на целочисленность любой размерности только на том основании, что наша добрая знакомая - топологическая размерность - принимает целые значения, и, во-вторых, фрактальная размерность уже доказала свою полезность. Что же касается наглядности, то представить себе фрактальную кривую, то есть кривую с фрактальной размерностью Хаусдорфа - Безиковича, настолько извилистую, что она уже не классическая линия, но еще не плоская фигура, все же легче, чем представить себе наглядно какие-нибудь средние статистические показатели. В отличие от некоторых арифметических задач, где целочисленность ответа предопределена далеко не всегда явно формулируемым требованием (вспомним хотя бы "два землекопа и две трети" из знаменитого стихотворения С. Я. Маршака), среднее число детей в семьях, проживающих в какой-нибудь местности, вполне может оказаться, например, равной 1,9. Между тем никому не приходит в голову возражать против дробных ("фрактальных") среднестатистических показателей на том основании, будто они лишены наглядности.
Действующие лица
По досадной традиции, не известно кем и когда установленной, современные науки в большинстве учебников принято излагать как некую безликую и вневременную совокупность более или менее согласованных определений, понятий, идей и методов. Понять внутреннюю логику развития науки, движущие пружины развития и необходимость введения того или иного понятия из такого рода текстов практически невозможно.
Попытаемся хотя бы немного нарушить эту прискорбную традицию.
Создатель фрактальной геометрии Бенуа Мандельброт родился в 1924 году в Варшаве. В 1936 году семья Мандельбротов переехала в Париж, где Бенуа окончил Политехническую школу (1947).
Ученую степень магистра наук (по аэрокосмическим наукам) защитил в Калтехе - Калифорнийском технологическом институте в Пасадене (1948), а высшую ученую степень доктора философии (по математике) - в Парижском университете (1952). До окончательного переезда в США (1958) Бенуа Мандельброт был приглашенным профессором в университетах Принстона, Женевы и Парижа. С 1974 года Мандельброт состоит членом совета по научным исследованиям фирмы IBM, а с 1984 года - профессором математики Гарвардского университета.
Помимо многочисленных статей перу Бенуа Мандельброта принадлежат три ставшие ныне классическими монографии о фракталах и их роли в математике, естественных и социальных науках: "Фрактальные объекты: форма, случайность и размерность" (1955), "Фракталы: форма, случайность и размерность" (1977) и "Фрактальная геометрия природы" (1982).
Число публикаций о фракталах, фрактальной геометрии и фрактальной физике (влиянии фрактальной структуры среды на протекающие в ней процессы и свойства фрактальных объектов) возрастает во всем мире экспоненциально. Столь большой и не ослабевающий интерес объясняется не столько своеобразной модой и новизной, но и принципиально новыми возможностями, которые фрактальность открывает перед современными науками о природе и обществе. Формулу своего открытия сам Мандельброт выразил в следующих поэтических строках (1984):
"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин кроется в ее неспособности описывать форму облака, горы, береговой линии или дерева. Облака - не сферы, горы - не конусы, береговые линии - не окружности, древесная кора не гладка, и молния - далеко не прямая... Природа демонстрирует нам не просто более высокий, а совершенно иной уровень сложности. Число различных масштабов длины бесконечно, какую бы цель мы ни преследовали при их описании.
Существование таких структур бросает нам вызов, ставя перед необходимостью заняться изучением тех форм, которые Евклид оставил в стороне как лишенные какой бы то ни было правильности, - исследованием морфологии аморфного. Математики уклонились от этого вызова и все более уходили от природы, измышляя теории, не имеющие ни малейшего отношения к тому, что доступно нашему созерцанию и нашим ощущениям".
Исаак Ньютон заметил однажды, что если ему и удалось что-нибудь свершить в науке, то лишь потому, что он стоял на плечах гигантов. Бенуа Мандельброт неоднократно подчеркивал заслуги своих предшественников Хаусдорфа и Безиковича в создании понятия дробной размерности, ставшего краеугольным камнем всей фрактальной науки.
Феликс Хаусдорф родился в немецком городе Бреслау (ныне польском городе Вроцлаве) в 1868 году. Окончил в 1891 году Лейпцигский университет. Под псевдонимом Поль Монгре выпустил несколько беллетристических произведений. Профессор Лейпцигского (1902-1910), Боннского (1910-1913, 1921-1931) и Грейфсвальдского (1913-1921) университетов. В 1935 году Хаусдорф был отстранен нацистами от преподавательской деятельности как "неариец". В 1942 году, опасаясь репрессий со стороны гестапо, Хаусдорф вместе с женой и ее сестрой покончил жизнь самоубийством.
Хаусдорфу принадлежит множество важных и глубоких результатов в топологии, теории непрерывных групп, математическом анализе и других разделах математики. Он внес существенный вклад в разрешение кризиса в основаниях математики (Мандельброт датирует кризис периодом 1875-1925 годов), написав замечательную монографию "Основы теории множеств" (1914). Дробная размерность Хаусдорфа - лишь одна из искорок его блестящего таланта.
Другим предтечей теории фракталов был Абрам Самойлович Безикович. Он родился в 1891 году в России. В 1912 году окончил Петербургский университет и с 1917 года был профессором Пермского университета.
Научное творчество и преподавательскую деятельность Безиковича отличали особое изящество и глубина результатов, как правило, тонких и весьма нетривиальных. Примером тому может служить решенная (опровергнутая) Безиковичем проблема японского математика Какейя, которую можно сформулировать так не выводя из плоскости единичный отрезок АВ, совместить его с ним же самим в перевернутом виде (так, чтобы конец В в новом положении совпал с концом А в исходном, а конец А в новом положении совпал с концом В в исходном), следя за тем, чтобы отрезок АВ при этом замел наименьшую площадь.
Перевернуть отрезок АВ можно, напри мер, двумя способами. Во-первых, по вернуть АВ на 180 градусов вокруг точки А и сдвинуть на единичное рас стояние, чтобы совместить с исходным отрезком. При этом единичный отрезок АВ заметет полукруг радиусом 1 и площадью ?/2. Во-вторых, отрезок АВ можно повернуть на 180 градусов вокруг его середины. При этом единичный отрезок АВ заметет круг радиусом 1/2 и площадью ?/4. А нельзя ли перевернуть отрезок АВ так, чтобы он замел еще меньшую площадь? Какейя ответил на этот вопрос утвердительно, предложив способ переворачивания, при котором единичный отрезок АВ заметает внутренность гипоциклоиды с тремя точками возврата (заострениями) площадью ?/8 и высказал гипотезу, что эта площадь минимальна.
В разгар гражданской войны (1919) Безикович сумел опровергнуть гипотезу Какейя, доказав, что единичный отрезок можно перевернуть так, чтобы он зам?л сколь угодно малую площадь!
О силе полученного результата и впечатлении, которое он произвел на математическое сообщество, можно косвенно судить по тому, что его автор в 1920 году был избран профессором Петроградского университета. Сам Безикович, пронесший через всю жизнь любовь к трудным и красивым ("олимпиадным") задачам, называл себя экспертом по математической "патологии": стоило ему заподозрить, что какая-то гипотеза неверна, как он не успокаивался до тех пор, пока ему не удавалось построить контрпример.
В начале двадцатых годов Безикович был удостоен Рокфеллеровской стипендии, дававшей ему возможность поработать в лучших зарубежных математических центрах, но неоднократные обращения к властям за разрешением на выезд неизменно наталкивались на отказ. И тогда мало-помалу созрел план покинуть Россию нелегально. К Безиковичу (события происходили в 1924 году) должны были присоединиться А. А. Фридман - автор знаменитого нестационарного, то есть зависящего от времени, решения уравнений Эйнштейна - и математик Я. Д. Тамаркин. В последний момент из-за болезни А. А. Фридман вынужден был остаться.
Из Латвии, куда беглецы с риском для жизни переправились по еще не окрепшему льду пограничной реки, Безикович отправился в Копенгаген, где на средства Рокфеллеровской стипендии смог поработать вместе с Гаральдом Бором, братом великого физика Нильса Бора, над теорией почти периодических функций. Именно в эту теорию и в теорию дробных размерностей Безикович внес свой наиболее существенный вклад.
После Копенгагена Безикович в течение нескольких месяцев работал в Оксфорде с Дж. Г. Харди, а с 1927 года обосновался в Кембридже, где с 1930 года и до конца жизни (Безикович скончался в 1970 году) состоял членом знаменитого Тринити-колледжа (колледжа Св. Троицы).
И Хаусдорф, и Безикович были бы немало удивлены, если бы узнали, какой интерес вызвали у потомков их работы по дробным размерностям.
И опять, и опять, и опять...
Среди множества необычных объектов, построенных математиками в конце XIX - начале XX века при пересмотре оснований математики, многие оказались фракталами, то есть объектами с дробной, или фрактальной, размерностью Хаусдорфа - Безиковича. Все они очень красивы и часто носят поэтические названия: канторовская пыль, кривая Пеано, снежинка фон Коха, ковер Серпинского и т. д. И все они обладают одним очень важным свойством, которое роднит их с самой обыкновенной прямой. Это свойство называется самоподобием: все эти фигуры подобны любому своему фрагменту.
Суть самоподобия можно пояснить на следующем примере. Представьте себе, что перед вами снимок "настоящей" геометрической прямой, "длины без ширины", как определял линию Евклид, и вы забавляетесь с приятелем, пытаясь угадать, предъявляет ли он вам исходный снимок (оригинал) или увеличенный в нужное число раз снимок любого фрагмента прямой. Как бы ни старались, вам ни за что не удастся отличить оригинал от увеличенной копии фрагмента: прямая во всех своих частях устроена одинаково, подобна самой себе, но это ее замечательное свойство несколько скрадывается незамысловатой структурой самой прямой, ее "прямолинейностью".
Если вы точно так же не сможете отличить снимок какого-нибудь объекта от надлежащим образом увеличенного снимка любого его фрагмента, то перед вами - самоподобный объект. Все фракталы, обладающие хотя бы какой-нибудь симметрией, самоподобны.
Самоподобие означает, что у объекта нет характерного масштаба: будь у него такой масштаб, вы сразу бы отличили увеличенную копию фрагмента от исходного снимка. Самоподобные объекты обладают бесконечно многими масштабами на все вкусы.
Разумеется, далеко не все фракталы обладают столь правильной, бесконечно повторяющейся структурой, как те замечательные экспонаты будущего музея фрактального искусства, которые рождены фантазией математиков и художников. Многие фракталы, встречающиеся в природе (поверхности разлома горных пород и металлов, облака, турбулентные потоки, пена, гели, контуры частиц сажи и т. д.), лишены геометрического подобия, но упорно воспроизводят в каждом фрагменте статистические свойства целого. Такое статистическое самоподобие, или самоподобие в среднем, выделяет фракталы среди множества природных объектов.
Даже простейшие из фракталов - геометрически самоподобные фракталы - обладают непривычными свойствами. Например, снежинка фон Коха обладает периметром бесконечной длины, хотя ограничивает конечную площадь. Кроме того, она такая колючая, что ни в одной точке контура к ней нельзя провести касательную (математик сказал бы, что снежинка фон Коха нигде не дифференцируема).
Не менее необычна и увлекательна физика фракталов. Фрактальные среды обладают настолько сложной геометрией, что многие процессы протекают в них не так, как в обычных сплошных средах, о чем мы расскажем чуть ниже.
Фрактальные свойства - не блажь и не плод досужей фантазии математиков. Изучая их, мы учимся различать и предсказывать важные особенности окружающих нас предметов и явлений, которые прежде, если и не игнорировались полностью, то оценивались лишь приблизительно, качественно, на глаз. Например, сравнивая фрактальные размерности сложных сигналов, энцефалограмм или шумов в сердце, медики могут диагностировать некоторые тяжелые заболевания на ранней стадии, когда больному еще можно помочь.
Барабан, натянутый на гладкий или фрактальный контур, звучит по-разному, и это различие можно использовать для диагностики характера контура и определения его фрактальной размерности.
Метеорологи научились определять по фрактальной размерности изображения на экране радара скорость восходящих потоков в облаках, что позволяет с большим упреждением выдавать морякам и летчикам штормовые предупреждения.
Такого рода применений фракталов уже сейчас существует великое множество, и число их все увеличивается. Об одном неожиданном применении и не менее неожиданном примере природного статистически самоподобного фрактала мы хотим рассказать несколько подробнее, тем более что это дает нам возможность обратить внимание на одно чрезвычайно важное обстоятельство, которое обычно упускают из виду или замалчивают, - роль наблюдателя и разрешающей способности приборов при определении размерности.
Велика ли протяженность береговой линии Великобритании?
При разборе архива выдающегося специалиста по гидродинамике Луиса Фрая Ричардсона среди его бумаг были обнаружены черновики удивительного исследования. Несколько перефразируя слова Льюиса Кэрролла, можно сказать, что при переходе от географии к мелким камешкам он обнаружил неограниченное увеличение протяженности береговой линии. Контуры доброй старой Англии вели, себя совсем не так, как полагалось бы евклидовой кривой. Но если береговая линия Великобритании не кривая, то что это? Теперь ответ известен: фрактал.
Публикуя данные Ричардсона, Мандельброт привел свои оценки фрактальной размерности Хаусдорфа - Безиковича для нескольких береговых линий. Они колебались от почти единицы для сравнительно гладкого (взгляните на любую карту!) южного побережья Африки до 1,3 - для западного побережья Великобритании и рекордной отметки 1,52 - для изрезанного фьордами побережья Норвегии1.
С точки зрения мухи
Вопрос о том, является ли данный предмет гладким или фрактальным, сам по себе лишен смысла. Ответ на подобный вопрос зависит от остроты зрения наблюдателя или от разрешающей способности прибора, которым он пользуется, то есть от того, насколько мелкие детали различает наблюдатель. Гладкая поверхность высочайшего класса обработки при соответствующем увеличении будет выглядеть, как горный ландшафт, подвергшийся интенсивной бомбардировке метеоритами.
Относительно и само понятие размерности. Бенуа Мандельброт иллюстрирует это следующим примером.
Клубок шерсти кажется мухе с большего расстояния точкой (топологическая размерность 0). Подлетев поближе, муха видит "большую точку" - диск (топологическая размерность 2). С еще более близкого расстояния муха видит, что перед ней шар (топологическая размерность 3). Во всех случаях все неровности сглаживаются из-за большого расстояния, и размерность Хаусдорфа - Безиковича совпадает с топологической размерностью. Подлетев совсем близко, муха видит перед собой клубок гладких ниток, то есть хитрым образом сложенную пространственную кривую (топологическая размерность 1). И лишь сев на клубок, муха видит пушинки, обрамляющие нить, то есть ощущает фрактальность шерстяной нити.
Какова же "истинная" размерность клубка шерсти? Да ее просто не существует: все зависит от точки зрения наблюдателя, разрешающей способности его глаз или прибора.
Муравей в лабиринте
Появление фракталов позволило (точнее, по-видимому, позволило) разрешить еще одну загадку, издавна мучившую физиков: почему в большинстве эмпирических формул, в изобилии встречающихся в любом инженерном справочнике, показатели степеней в различных зависимостях такие "некрасивые", то есть выражаются необъяснимо странными, с точки зрения традиционной физики, дробными числами типа 1,1378... или 2,9315?? Ответ, по-видимому, надлежит искать в том, что при разрешениях, достижимых в технике, в игру вступает фрактальность среды, поверхности и т. д., не принимавшаяся во внимание физиками, но вполне ощутимая на эмпирическом уровне для инженеров.
Мы уже упоминали о том, что физика фрактальной среды иногда сильно отличается от физики сплошной среды. Приведем лишь один пример.
Средний квадрат расстояния, на которое удаляется от исходной точки случайно блуждающая частица (математическая модель совершенно пьяного гуляки, делающего очередной шаг с равной вероятностью в любую сторону), пропорционален времени, если речь идет об обычной, сплошной среде. В фрактальной среде это не так. Даже на глаз, без всяких расчетов, видно, что случайно блуждающая частица будет удаляться от места старта медленнее, так как далеко не все направления для нее доступны: извилистый канал выбирает из множества ранее доступных направлений лишь малое подмножество разрешенных направлений. Средний квадрат расстояния для фрактальной среды оказывается пропорциональным некоторой дробной степени времени, показатель которой связан с фрактальной размерностью среды.
Это, в частности, означает, что диффузия в фрактальной среде происходит не так, как в обычной, сплошной среде. Множество препятствий (узких мест, крутых поворотов и тупиков) затрудняют продвижение частиц и замедляют диффузию. Лауреат Нобелевской премии де Жен сравнил частицу, блуждающую в фрактальной среде, с муравьем в лабиринте. Трудно приходится муравью. Отсюда и дробные показатели в различных зависимостях.
Замедление диффузии в фракталах столь существенно, что она перестает удовлетворять классическому закону Фика и - как следствие - уравнению диффузии. Не спасает положения и попытка ввести переменный коэффициент диффузии, зависящий от концентрации частиц. Возникает новое, интегро-дифференциальное уравнение, содержащее новый необычный объект - производную (по времени) дробного порядка, связанного с фрактальной размерностью среды. Ситуация несколько напоминает финал поэмы Льюиса Кэрролла "Охота на Снарка", где одно невиданное чудовище - Снарк - оказывается другим невиданным чудовищем - Буджумом. Впрочем, причудливость фрактальной геометрии в какой-то мере подготавливает нас к тому, что и физика происходящих в фрактальной среде процессов, в частности диффузии, должна описываться необычными средствами.
Эстетика фракталов
Многие фракталы обладают эстетической привлекательностью. Более того, они просто неотразимы. Во многих странах мира демонстрировалась выставка, созданная в содружестве с художниками бременскими м? (нет, не музыкантами!) математиками Рихтером и Пейтгеном. На ней экспонировалось около полутораста художественных изображений фракталов. Весь мир обошли компьютерные "лунные" пейзажи, выполненные на основе фрактальных множеств Бенуа Мандельбротом и его сотрудниками.
Звуковая палитра современных композиторов может быть значительно расширена за счет звучании электронных инструментов с различными фрактальными характеристиками.
Наконец, нельзя не упомянуть и об изящной словесности, ибо ей явно недостает свежей фрактальной струи. Какие захватывающие приключения ожидают Тезея в закоулках фрактального лабиринта, где за каждым поворотом его может поджидать роковая встреча с Минотавром! Какой длины должна была бы быть в среднем спасительная нить Ариадны, чтобы Тезей мог благополучно выбраться из лабиринта? Смог бы Том Сойер вывести Бекки Тэтчер из подземных фрактальных пещер, и сколько времени ему для этого потребовалось бы? Фракталы позволяют по-новому взглянуть и даже отчасти реабилитировать героев некоторых детских сказок, пользовавшихся репутацией отъявленных плутов и мошенников. Вспомним хотя бы сказку "Новое платье короля" Ганса Христиана Андерсена. Если бы портные сшили новое платье короля из фрактальной ткани, на изготовление которой пошло бесконечное количество шелка, бархата и золота, то и тогда король вполне мог бы казаться голым. Произнесший знаменитую фразу ребенок изрек бы очевидную истину, ложность которой стала бы ясна только при более основательном знакомстве с теорией фракталов (чего ни в коем случае нельзя предполагать и тем более требовать от невинного малютки).
Фракталы неисчерпаемы, как неисчерпаемы их приложения в науке, технике, литературе и искусстве.
Эпилог
Наше краткое повествование об одном из чудес современной науки - фракталах - подходит к концу. Как всегда, когда речь заходит о науке, мы ставим не точку, а многоточие - наука продолжает жить и созидать новое знание.
Но прежде чем попрощаться с читателем и поблагодарить его за терпение, нам бы хотелось предостеречь от одной чрезвычайно распространенной и чрезвычайно соблазнительной ошибки.
С появлением фракталов со всей очевидностью стала ясна ограниченность описания природы с помощью гладких кривых, поверхностей и гиперповерхностей. Окружающий нас мир гораздо разнообразнее, и в нем оказалось немало объектов, допускающих фрактальное описание и не укладывающихся в жесткие рамки евклидовых линий и поверхностей.
Не следует забывать, однако, о том, что и фракталы - не более чем упрощенная модель реальности, применимая к достаточно широкому, но все же ограниченному кругу предметов и явлений, и не претендует и не может претендовать на роль своеобразного универсального ключа к описанию природы. Как сказал Дж. Б. С. Холдейн, "мир устроен не только причудливей, чем мы думаем, но и причудливей, чем мы можем предполагать".
1Этой темы журнал уже касался несколько ранее. Читайте статью С. Курдюмова и Г. Малинецкого "Парадоксы хаоса", "Знание - сила", 1993 год, ? 3.
ДЖОКЕРЫ, РУСЛА или поиски ТРЕТЬЕЙ ПАРАДИГМЫ
"ЗС" ? 3/1998
Наверное, у тех, кто прочитал не один десяток толстых книг "с формулами", прослушал сотни лекций и докладов на разных конференциях, рано или поздно возникает несколько вопросов. Почему, несмотря на всю сложность мира, в чем-то удается разобраться? Почему подчас довольно простые эксперименты могут давать ответы на глубокие фундаментальные вопросы? Почему в причудливом переплетении десятков разных процессов удается отыскать новый эффект?
О путях развития науки, поисках совершенно новых способов решения задач, перед ней встающих, о синтезе наук на новом уровне - размышления авторов. И адресованы они не только ученым - вот, что самое интересное.
ИГРЫ СЛОЖНОСТИ
Способны ли вы вообразить шесть чисел, связанных с каждой точкой пространства? Это слишком трудно. А можете ли вы вообразить хотя бы одно число, связанное с каждой точкой пространства? Я лично не могу!
Р. Фейнман
Действительно, почему, несмотря на все принципиальные и методические трудности, ученые продвигаются вперед?
Можно удовлетвориться ответом, предлагавшимся Галилео Галилеем. Классик полагал, что книга Природы написана языком математики.
Исаак Ньютон связывал успехи в познании Вселенной с глубиной и величием божественного замысла. Позже вопросы познаваемости и границ нашего знания адресовали философам. Большинство из них тогда, как и сейчас, с легкостью решали все проблемы, мучившие незадачливых естественников.
Вихри, возникающие при обтекании цилиндра набегающим потоком жидкости (или, как их называют, дорожка Кармана). Красивые структуры, простая и очаровательная упорядоченность.
XX век внес в эту картину существенные коррективы. Оказалось, что на нынешнем уровне развития науки можно создавать междисциплинарные подходы. Они позволяют мыслить многое как единое, оставаясь на твердой почве конкретных задач, методов, уравнений. Первым таким подходом стала кибернетика, созданная трудами Норберта Винера, его коллег и последователей.
Первой междисциплинарной наукой стала в XX веке кибернетика, созданная трудами Норберта Винера, его коллег и последователей.
В семидесятые годы закладывались основы нового междисциплинарного подхода - синергетики, теории самоорганизации, теории диссипативных структур. Слово "самоорганизация" здесь является ключевым. Возникновение этого научного направления связывают с именами бельгийского ученого Ильи Пригожина и немецкого теоретика Германа Хакена. Пожалуй, главным достижением этого научного подхода стало понимание того, почему многие сложные системы могут вести себя просто.
В семидесятые годы появился новый междисциплинарный подход - синергетика, теория самоорганизации. Здесь слово "самоорганизация" - ключевое.
Именно эта простота и позволяет в чем-то разобраться, дает возможность строить простые модели сложных явлений.
Спросим себя, что такое "сложность"? Наивный ответ, который нас сейчас вполне устроит, состоит в следующем. Чтобы описать какой-нибудь объект (то есть полностью определить его состояние), математику, скажем, нужно задать N чисел. Чем больше N, тем сложнее объект. Величину N математики красиво называют размерностью фазового пространства.
В нашем веке в естествознании, в математическом моделировании большую популярность завоевали объекты, в которых величина N бесконечна. Таковы, например, уравнения электродинамики - чтобы описать электромагнитное поле в данный момент, нужно задать шесть чисел в каждой точке пространства. (Именно к ним относятся слова Р. Фейнмана, вынесенные в эпиграф.) В простейших задачах квантовой механики - два числа, в гидродинамике - пять.
Почему же, имея дело с такими объектами, можно строить модели каких-то явлений и тем более их использовать? Разгадку подсказывает рисунок 1. На нем показаны вихри, возникающие при обтекании цилиндра набегающим потоком жидкости (или, как их называют, дорожка Кармана). Видно, что мы имеем дело с красивыми структурами, простой и очаровательной упорядоченностью. Числа, характеризующие среду в каждой точке пространства, оказываются согласованы, а не произвольны. Поэтому такие структуры иногда называют "когерентными", а числа N, характеризующие их, могут быть небольшими - 3, 10, 100, а вовсе не бесконечными.
Результаты моделирования некоторой химической раекции. Впрочем, структуры, возникающие в полупроводниках, в развивающейся ткани, плотность популяции для некоторых хищников и их жертв выглядит примерно так же.
Однако самоорганизацию, процесс возникновения структур удобнее проследить на примере компьютерного расчета, представленного на рисунке 2. Здесь показаны результаты моделирования некоторой химической реакции. Впрочем, структуры, возникающие в некоторых полупроводниках, в развивающейся ткани, плотность популяций для некоторых хищников и их жертв выглядят примерно так же. На то она и междисциплинарность. Показаны распределения концентраций в различные моменты времени. Начальные данные имеют очень сложный вид, для их описания нужно очень много чисел (труднее всего описывать "мусор"). Но затем, как по мановению волшебной палочки, картина упрощается и возникают замечательные структуры. Распределения становятся похожи на синусоиды, а их-то описывать совсем легко. Роль волшебной палочки в образовании структур играют диссипативные процессы - вязкость, теплопроводность, диффузия (от английского to dissipate - рассеивать). Чтобы подчеркнуть этот факт, И. Пригожий назвал структуры, возникающие при самоорганизации, диссипативными.
Не удивительно, что представители самых разных научных конфессий активно, энергично и успешно находили диссипативные структуры в своих областях. Казалось бы, все дальнейшее просто. Поскольку из-за самоорганизации, величин, необходимых для описания объекта, остается немного, можно строить модели, разбираться в разных процессах и прогнозировать их ход: задать начальные данные и, решив уравнения, например, с помощью компьютера, посмотреть, что будет дальше. Или, на языке математиков, построить фазовую траекторию. При этом могут получиться, например, такие кривые, как показано на рисунке 4. Обратим внимание на то, что через каждую точку фазового пространства проходит только одна траектория. Это ньютоновское выражение принципа причинности - будущее однозначно определяется прошлым. Казалось бы, имея такую модель, можно предсказывать состояние системы сколь угодно далеко вперед - надо только вычислить траекторию. Лаплас и полагал, говоря нынешним языком, что мощная вычислительная техника в принципе позволит заглянуть, как угодно далеко. Чем мощнее техника, тем дальше можно заглянуть.
Однако тут на сцену выступил его величество Детерминированный Хаос, который и спутал карты ученых. Это явление настолько просто, красиво и парадоксально, что остается лишь удивляться, почему оно не было открыто полвека, а то и век тому назад. Попытки понять его и научиться с ним обращаться, привели к рождению второй парадигмы, которую обычно называют нелинейной динамикой. Английский эквивалент этого названия - monlinear science - нелинейная наука, звучит несколько странно, как бы подразумевая, что какие-то науки остались "линейными".
Его величество Детерминированный Хаос - явление настолько простое, красивое и парадоксальное, что остается лишь удивляться, что оно не было открыто полвека, а то и век тому назад.
Геометрически эволюция объекта соответствует пути, траектории в фазовом пространстве, о котором уже шла речь. Например, траектория может иметь вид "клубка", изображенного на рисунке 3. Здесь пространство всего лишь трехмерно (N = 3). Этот причудливый клубок появляется со временем в модели, связанной с описанием конвективных ячеек, показанных на рисунке 1. Американский метеоролог Эдвард Лоренц, построивший такую модель, хотел разобраться, почему так трудно получить двух- и трехнедельный прогноз погоды. Позже выяснилось, что "клубок" имеет отношение к динамике лазеров, перемешиванию коктейлей и системам охлаждения атомных станций.
"Клубок" и другие объекты такого сорта, который математики называют красивым словом "странные аттракторы" (от английского to attract - притягивать), убедили, что дело может обстоять иначе. Начальное состояние мы определяем с ошибкой, пусть даже очень маленькой. Понятно, что если со временем ошибка между тем, что мы предполагали, и тем, что есть на самом деле, быстро увеличивается, то и предсказания делать трудно. Наш мир устроен таким образом, что во множестве самых разных систем ситуация именно такова. Так дело обстоит с погодой и изменениями климата, с солнечной активностью и многими операциями на бирже, с некоторыми биохимическими реакциями и электрической активностью мозга. Оказалось, что подобные системы обладают внутренней неустойчивостью, которая, однако, не разрушает их, а приводит к сложному поведению с ограниченной предсказуемостью. Существует горизонт прогноза. И трудности здесь не технические, которые можно обойти, прикупив более мощный компьютер, а принципиальные.
Существует горизонт прогноза. Это такое же серьезное препятствие в исполнении наших желаний, как существование максимальной скорости передачи сигналов или невозможность создания вечного двигателя.
Геометрическая эволюция объекта соответствует его траектории в фазовом пространстве. Например, траектория может иметь вид ?клубка?. Такой клубок имеет отношение к динамике лазеров, прогнозу погоды и перемешиванию коктейлей.
Это такое же серьезное препятствие в исполнении наших желании, как существование максимальной скорости передачи сигналов или невозможность создания вечного двигателя, несмотря на все остроумие предлагавшихся конструкций. Впрочем, нелинейная динамика не только объяснила, чего "нельзя", но и показала, что "можно" и как этого добиться. Со страниц научных журналов методы нелинейной динамики перешли в сферу прикладных задач, банковских технологий, медицинской диагностики, криптографии, стратегического планирования. Возникли процветающие компании компьютерных прогнозов, международные журналы "Хаос", "Нелинейность", "Хаос, солитоны и фракталы" и десятки других.
И все же, все же, все же...
Алхимия финансов
и первые джокеры
Сложные системы приводят к неожиданным последствиям.
Из законов Мерфи
Компьютер очень сильно расширил возможности исследователей, но и у этой области есть свои границы и подводные камни. Попытка брать "числом" (быстродействием, объемом памяти), а не "умением" (новыми постановками задач, алгоритмами) тут не проходит.
Да и нелинейной науке приходится нелегко. В популярном сборнике "Физики шутят" была такая житейская мудрость: "Если в задаче меньше трех переменных, это не задача; если больше восьми - она неразрешима". Примерно так же можно сказать о современной нелинейной динамике: "Если N меньше четырех, то все можно понять, если меньше десяти, то все можно посчитать, а дальше начинается область магии".
Итак, за сложностью можно часто увидеть простоту, написать простую модель и найти траекторию. Даже хаос имеет свой порядок внутри себя и этот порядок зачастую не слишком сложен. Однако на пути моделирования сложных объектов подстерегают и другие трудности. Одна из них связана с тем, что в сложных системах существует большой "резерв сложности" в поведении, и они этим резервом иногда пользуются. В результате может оказаться, что наша простая модель больше не работает.
В точных науках не принято говорить о таких ситуациях. Усложнение чаще всего описывают в рамках теории бифуркаций как постепенное увеличение величины N, происходящее при очень плавном изменении каких-нибудь параметров. В социальных же науках, куда математика и моделирование проникли слабо, подобные ситуации не редкость. Один из хороших примеров подробно описан Дж. Соросом в его книге "Алхимия финансов".
Сорос обнаружил интересную закономерность в изменении прибыльности многих успешных финансовых проектов. Если проект достаточному количеству людей кажется прибыльным, они вкладывают в него деньги. После того как деньги вложены, проект и в самом деле становится прибыльным. Ожидания подтверждаются, и это порождает новые вложения. Вложения снова могут увеличить прибыльность. Так возникает лавина, бум ожиданий. Включается положительная обратная связь. Динамика прибыльности, цены акций и тому подобное становятся предсказуемыми и могут быть довольно просто описаны (как, например, у Сороса). Такую картину иллюстрирует рисунок 5, на котором показаны число инвесторов, их ожидания и реальная доходность предприятия.
Однако в конце концов ресурсы развития оказываются отчасти исчерпаны и предприятие больше не дает той доходности, на которую все рассчитывали. После этого включается обратный механизм: инвесторы начинают забирать деньги, это снижает прибыльность и порождает очень быстро усиливающийся дальнейший отток средств. Предсказуемость дальнейшей судьбы предприятия резко ухудшается, потому что она начинает зависеть от множества факторов, которые ранее были несущественны...
Сороса эта ситуация заинтересовала с точки зрения коренных отличий гуманитарных наук от естественных: в экономике, а особенно на финансовых рынках будущее в значительной степени творится ожиданиями участников игры. Поэтому для достижения нужных результатов иногда необходимо изменить эти ожидания в свою пользу, а затем, если расчет был верный, в течение некоторого времени будет идти самоподдерживающийся процесс. Мы не будем пересказывать первоисточник. Отметим только, что Сорос основную проблему видит в необходимости учета ожиданий в адекватных математических моделях (в отличие от классических экономических теорий). Его волнует проблема рефлексии. Нам же этот пример интересен с другой точки зрения, как простой и в то же время типичный пример ситуации, когда плавное течение ситуации вдруг сменяется резким провалом, как будто спокойно плывущий корабль вдруг натыкается на рифы.
Итак, в отличие от типичных ситуаций естественных наук, у нас появилась переменная, которая может меняться скачками. В этот момент поведение объекта может резко усложниться (как будто бы N резко возросло), а горизонт прогноза - сократиться. В примере Сороса происходит смена одних ожиданий, общих для всех, другими, разными для всех участников рынка. Таковы же и времена смут. По мнению В. О. Ключевского, в смутное время жизнь общества до чрезвычайности усложнялась, классы выступали со своими требованиями и претензиями и прихоти "польских шаек" или "тушинского вора" могли существенно отразиться на судьбах России. То есть уравнения, правила, нормы морали и поведения, пригодные для спокойного этапа, вдруг становятся непригодными, перестают давать верный прогноз, соблюдение старых норм не ведет к успеху.
Здесь через каждую точку фазового пространства проходит одна кривая. Казалось бы, имея такую модель, можно предсказывать состояние системы далеко вперед. Однако это далеко не так, и даже мощная техника здесь не поможет.
Для описания таких ситуаций пришлось ввести новый класс моделей - динамические системы с джокерами. Напомним, что в большинстве карточных игр джокер (от английского joker - шутник) может быть назначен любой картой, по желанию того, кому он достался. Это резко повышает неопределенность ситуации и усложняет игру. Пусть мы с вами играем в покер, джокеров в колоде нет, и вы делаете вид, что у вас на руках четыре короля - каре. Если при этом у нас есть король, то сразу ясно, что вы блефуете. Но если в колоде есть джокер, то все не так очевидно. Надо прикинуть, каков ваш опыт игры, темперамент, склонны ли вы сегодня к риску и еще многие другие факторы.
Итак, мы рассмотрим привычное фазовое пространство, в котором есть маленькая область G2, которую называют областью джокера, и все остальное G1. Когда точка, соответствующая положению нашей системы, находится в G1, все происходит как всегда. Будущее однозначно определяется прошлым, траектории гладкие и непрерывные. Но, допустим, траектория подошла к области G2. Тут в дело вступает джокер. Так специалисты по моделированию назвали правило, которое определяет дальнейшее. В соответствии с ним система может совершить скачок, величественная финансовая пирамида рухнула, и маловероятный шанс станет грустной реальностью.
Теперь немного "прикладной джокерологии". Джокеры бывают разные.
Джокер первого рода скачком перебрасывает нашу систему из области джокера в точку А (красная стрелка на рисунке 6). Такие модели могут описывать ситуацию, в которой мы пилим сук, на котором сидим. Сначала все идет отлично, работа кипит, средства осваиваются, сук становится все тоньше. И потом.., как и следовало ожидать, мы оказываемся на земле.
Джокер второго рода действует хитроумнее. С вероятностью р1, он переводит систему в точку В, с вероятностью р2 - в точку С (синие стрелки на том же рисунке). Простой жизненный пример здесь таков. Представим, что дела в вашем с вами банке идут все хуже и хуже (ученым приходится размышлять и над такими невероятными ситуациями). Пора что-то решать. С вероятностью р1 мы объявляем изумленным вкладчикам о банкротстве нашего процветающего банка, а с вероятностью р2 устраиваем презентацию в "Хилтоне". Реклама, пресса, новые вкладчики.
Джокер третьего рода еще коварнее. Он может перевести наш объект в любую точку пространства, но с разной вероятностью. Читатели, конечно, догадались, что речь идет о рэкете, а "объект" - это семейный бюджет. К вам приходят спортивного вида молодые люди и делают предложение, от которого невозможно отказаться. Друзья и знакомые со спокойной грустью мудрых людей советуют платить. И, естественно, разные суммы придется платить с разной вероятностью.
Динамика прибыльности, цены акций могут стать предсказуемы с точки зрения моделирования процесса. На рисунке показано число инвесторов, их ожидания и реальная доходность предприятия.
Джокеры начали свою жизнь в науке менее года назад, но уже сейчас нашлось много задач, где их применение оказывается полезным или дает интересные результаты. Например, это экспертные системы и системы поддержки принятия решений. Принятие крупных решений относится к одной из важнейших технологий в современном мире, включающих сложные компьютерные системы, различные процедуры, привлечение экспертов в различных областях ("академик по котам, академик по китам", как в книге Б. Заходера). Если мы четко знаем область джокера (определение которой требует отдельной работы), то становится ясно, когда одних специалистов надо благодарить за сотрудничество и привлекать других. Когда, например, следует отказаться от услуг терапевтов и срочно звать хирургов.
Джокеры могут не только усложнять ситуацию, но и упрощать ее. Они могут превратить хаос в сложную упорядоченность заданного типа. Многие интересные эффекты, связанные с джокерами, напоминают поведение некоторых химических реакций. Однако для нашего разговора важнее другое. Джокеры и другие системы такого типа - это механизмы упрощения реальности. Это способы отказаться от анализа одних факторов, от одних стратегий, чтобы перейти к другим. И, судя по эволюционным успехам нашего вида, - способы неплохие.
Русла и проекции реальности
Мы не ставим своей задачей построение общей теории, а хотим сосредоточиться лишь на частичном объяснении динамики...
Дж. Сорос. "Алхимия Финансов"
Вероятно, в полной мере проблему помогли осознать суперкомпьютеры. Один специалист определил их как ЭВМ, которые на поколение отстают от задач, которые на них решают. Их использование в задачах прогнозирования показало, насколько сложные задачи приходится решать живым организмам, как совершенны их прогнозирующие системы. Может быть, все дело в суровом экзаменаторе. Природа жестко дисквалифицирует всех, кто плохо решает. Более того, психологи утверждают, что ключевым звеном в обучении является опережающее отражение. Ни у зайца, который убегает от волка, ни у оператора атомной станции нет возможности учиться на собственных ошибках (второй попытки просто не будет). Приходится учиться, осмысливать окружающее, совершенствовать предсказывающую систему и здравый смысл.
Использование суперкомпьютеров в прогнозировании показало, насколько сложные задачи приходится решать живым организмам, как совершенны их - прогнозирующие системы. Может быть, все дело в суровом экзаменаторе. Природа жестко дисквалифицирует те, кто плохо решает.
Системный анализ, теория исследования операций, а теперь и нелинейная динамика - дисциплины, связанные с прогнозом, с компьютерной обработкой огромных массивов информации, показали, насколько важной и тонкой вещью является этот пресловутый здравый смысл. Специалисты по моделированию столкнулись с очень серьезным ограничением - прогноз следует давать не вообще, а в реальном масштабе времени. В тысячах ситуаций, где самые современные алгоритмы и суперкомпьютеры пасуют, интуиция и опыт позволяют найти разумный компромисс. Почему? Потому что мозг обладает поразительной способностью упрощать мир, выбирать ключевые переменные, самые главные процессы и причинно-следственные связи, верную проекцию реальности. Причем в разных ситуациях разную! Развитие вычислительных систем показало, что эта способность гораздо более удивительна, чем загадочная архитектура мозга, позволяющего решать нестандартные задачи, или таинственная память, преподносящая парадоксальные ассоциации.
Если мозг выбирает самое главное и существенное из огромного пространства нашей реальности, значит, оно в ней есть.
Однако, если мозг выбирает самое главное и существенное из огромного фазового пространства нашей реальности, значит, оно в ней есть. Но тогда это можно отобразить в математических моделях. (Если Декарт говорил, что он мыслит, следовательно, существует, модельер может сказать, что он понимает, если может построить математическую модель.) Однако классические математические модели не приспособлены к резким изменениям ситуации - все, что может случиться, фактически уже заложено в модель при ее создании (поэтому модели и позволяют делать открытия). Однако создавать слишком сложные модели, которые содержали бы сразу же все, бессмысленно. Как показывает опыт математического моделирования, их невозможно будет проанализировать. Где же выход?
Итак, в нашем фазовом пространстве есть джокеры. От них одни стараются держаться подальше (как в пословице: "Умный найдет выход из любой ситуации, а мудрый в нее просто не попадет"), а другие активно использовать (знаменитое наполеоновское: "Главное ввязаться в драку, а там посмотрим"). В них неопределенность резко возрастает, а возможности предсказывать дальнейшее уменьшаются. Следовательно, должны быть и другие области, в которых многое или хотя бы самое существенное можно предсказать. Возможно, умение их быстро и точно находить и является главным козырем нашей нервной системы.
Такие области мы будем называть руслами. Название ясно из картинки 7. Близкие траектории как бы притягиваются к некоторому пучку, трубке и далее следуют вместе. Значит, зная детально одну траекторию, можно многое сказать и о других. Политологи, консультанты, референты со времен Римской империи знают, что если в провинции Анчурии заговорили о возрождении национального языка и культуры и о славной истории анчурийского народа, то центр ослаб и большие беспорядки не за горами.
Важно отметить, что картина сближающихся траекторий может наблюдаться не для всех переменных, характеризующих систему, а только для нескольких. Отбрасывая остальные как несущественные ("стирая случайные черты"), мы получаем проекцию реальности, в которой ситуация становится предсказуемой, хотя, возможно, с ограниченной точностью и в течение ограниченного промежутка времени. Насколько успешной окажется такая проекция - зависит от системы. Это определяется тем, насколько отброшенное способно повлиять на избранные кандидатуры существенных переменных.
По-видимому, большинство успешных научных теорий приводит к успеху, когда проекция реальности, с которой они имеют дело, оказывается связана с каким-либо руслом (или, если хотите, создание такой успешно предсказывающей теории и показывает, что русло существует и найдено). В идеальном случае очень устойчивых причинно-следственных связей можно оставаться в рамках логики, конструкций типа "Если... то" и навсегда забыть о несущественных деталях. Это и будет обычная математическая модель. Тут раздолье для идеализации, для людей, которые умеют доказывать теоремы.
Джокеры бывают разными. Описание их действий вы найдете в тексте статьи.
На следующем уровне находится физика. Ей посчастливилось - она в большинстве ситуаций имеет дело с глобальными руслами, когда можно выделить и описывать почти изолированную подсистему (об окружении можно забыть почти всегда), когда существенными оказываются одни и те же переменные и можно всегда пользоваться одними и теми же уравнениями (дополнительность является скорее исключением, а не правилом). Правда, до теорем обычно дело не доходит, да и на бумажке можно посчитать немного, приходится часто обращаться к помощи компьютера.
В экономике, социологии, психологии, истории ситуация сложнее. Успехи выдающихся экономических теорий, различных психологических школ показывают, что русла есть и здесь. Однако, во-первых, они локальны, то есть обладают предсказывающей силой только в какой-то вполне определенной ситуации. А во-вторых, от них нельзя требовать очень точных и очень длительных прогнозов (хотя от создателей можно потребовать эту точность оценить). Поэтому нужно очень точно оговаривать допущения, исходные посылки. На первый план выходит определение истока (когда посылки начинают быть справедливы) и устья русла (когда они больше не выполняются), определение джокеров - если нельзя указать следующее русло.
Почему русла важны? Потому что понимание, на основе которого можно принимать решения, дают только простые модели, а втиснуть в них действительность можно только отбрасывая "лишнее". По-видимому, на подсознательном уровне мозг решает подобные задачи очень быстро, однако сознательный выбор нужных переменных и его обоснование требует времени, иногда очень большого. Ведь умели же люди очень точно кидать камни и пускать стрелы задолго до Галилея и Ньютона. Мозг быстро прикидывает нужные траекторию и усилия, но никто точно не знает, каким образом. Надо только немного потренироваться. Преуспевающие бизнесмены хорошо ориентируются на биржах и рынках, но обычно не создают экономических теорий и, видимо, почти не пользуются ими. То же самое наблюдается в управлении коллективами людей, сложными объектами, в нетрадиционной медицине и тому подобное. Однако такое эмпирическое знание хотя и приводит к успеху, обычно не может быть передано другим людям, не становится достоянием общества. Его можно передавать только небольшой группе близких соратников личным примером, да и то не всегда. Ученые же теории создают, но социальные теории обычно успешнее всего объясняют прошлое. Пока теория создается, ситуация успевает измениться и старая проекция уже может не отражать сути дела. Найденное русло оказалось пройдено, и текущая ситуация соответствует джокеру или пока не найденному руслу в неизвестной проекции.
Что же делать в такой ситуации? Принципиальным становится определение структуры нашего незнания, осмысление ситуаций, где еще могут существовать русла, и также техники, позволяющей переходить от одних русел к другим, от одних теорий к их альтернативам. Может, к примеру, оказаться, что неокейнсианство и монетаризм - это не альтернативное описание одной реальности, а теории, относящиеся к разным руслам. Поэтому может оказаться, что вопросы "Вы за или...", "Кто прав?" лишены смысла. Следует просто осознать, к какой теории ближе реальность, которую предполагают моделировать или тем более менять. Это необходимо, чтобы не пришлось "импровизировать" или, хуже того, "подгонять" существующую реальность под неадекватную теорию.
Вероятно, именно здесь и может быть развита новая парадигма нелинейной динамики и математического моделирования. Зачем вообще она нужна? Дело в том, что класс объектов, для которых удается строить эффективные модели "из первых принципов", на наш взгляд, в настоящее время почти исчерпан. Для решения многих важных и актуальных задач необходимо строить предсказывающую модель исходя из известной предыстории объекта (подобно тому, как мозг обучается довольно точно бросать камень по результатам тренировочных попыток). И здесь мы встречаемся с серьезнейшими ограничениями на сложность модели. Как показывают некоторые результаты нелинейной динамики, число N здесь обычно не может превышать 5-10. Возможно, следует отказаться (хотя бы частично) от построения общих теорий, а "сосредоточиться лишь на частичном объяснении динамики", на создании "частных теорий", для построения которых было бы достаточно сравнительно небольшого объема информации. Такого, который может быть собран, переработан и осмыслен за разумный промежуток времени. И для этого концепция русел и джокеров представляется многообещающей. (Здесь уместно будет заметить, что авторы не претендуют на то, что они изобрели нечто принципиально новое. Скорее всего, элементы такого взгляда на научное познание можно найти еще у древних авторов. Мы только хотим подчеркнуть, что предлагаемая концепция позволяет предложить разумное решение ряда серьезных проблем. Именно такой смысл мы вкладываем в слова "третья парадигма".)
Определение русел и джокеров в социальных науках, экологии, теории риска представляется захватывающей задачей. Организация общества, устойчивость и безопасность развития, благополучный внутренний мир выходят на первый план, оттесняя на второй гонку технологий, императивы общества потребления.
Более того, здесь нужен иной уровень междисциплинарного сотрудничества. К сожалению, авторам не раз доводилось сотрудничать на других уровнях. Одни гуманитарии хотели научиться писать украшенные формулами статьи. Другие хотели сначала обсудить методологические проблемы и проверить, можно ли пускать математиков в святая святых. Впрочем, и некоторые наши коллеги-естественники были склонны объяснять, что "многое" в истории, начиная с датировки и кончая никудышной статистикой, следует выбросить на свалку.
Здесь придется учиться слушать и понимать друг друга, искать русла, параметры порядка, проекции реальности.
А что дальше?
Сложные проблемы всегда имеют простые, легкие для понимания неправильные решения.
Из законов Мерфи
Прекрасно только то, что нетрудно понять.
А. Франс
Можно предположить, что эра сверхспециализации, рождения наук на стыке разных дисциплин, уходит в прошлое. Ей на смену идет эра синтеза. Если в XX веке доскональное углубленное изучение одного русла и некоторой любимой проекции считалось почетным и благородным занятием, то в XXI веке у профессионалов будут спрашивать, как перейти от одного русла к другому и где на этом пути могут встретиться коварные джокеры. Методы анализа одних проекций могут оказаться полезными для других.
С точки зрения русел, интересно взглянуть и на некоторые проблемы человеческого познания. Например, философия с этой точки зрения видится как попытка найти универсальную проекцию (систему понятий и терминов), в которой единообразно описывался бы весь мир - то есть самое глобальное русло. Искусство идет в противоположном направлении. Его больше интересует неповторимое, то, что в единую проекцию не укладывается. Искусству нужно бесконечное число русел.
На формирование новых теорий уходит минимум 10-20 лет. Мир меняется гораздо быстрее, поэтому спасение может быть в формировании множества альтернативных теорий.
А если посмотреть на практическую сторону дела? Электрону (по крайней мере, пока) хватает двух проекций. А сколько их нужно зайцу, чтобы выжить? А человеку - для того же самого? Ответа пока нет. А опыт показывает, что на формирование новых теорий уходит минимум 10-20 лет. Мир меняется гораздо быстрее, поэтому спасение может быть в формировании множества альтернативных теорий.
Близкие траектории как бы притягиваются к одному пучку или руслу. Зная детально одну траекторию, можно много сказать и о других.
Но теорию мало создать. Необходимо, чтобы потенциальные ее "потребители" (для социальных теорий это могли бы быть политики и управленцы) смогли без титанических усилий созданное понять и вовремя распознать, что момент ее применимости настал. Поэтому, во-первых, ученым надо учиться делать основные положения и выводы своих теорий максимально простыми и легко проверяемыми, во-вторых, они должны быть изложены общедоступным языком. Осмелимся предположить, что будущее науки связано с широтой кругозора ученых, то есть не с размножением очень специальных журналов и не с электронными публикациями (это всегда сохранится для узкого круга единомышленников), а с возрастанием роли научно-популярной литературы, в которой ученые и журналисты могут писать не для "ближнего", а для "дальнего". Причем ее роль скорее всего изменится качественно - ученые будут писать ее для ученых. Эволюционисты ведь учат, что развитие идет путем превращения побочных форм в основные...
Будем надеяться, что третьей парадигме повезет не меньше, чем первым двум.
Оказалось, что в основе разных явлений лежат одни и те же механизмы, отрицательные и положительные обратные связи. Это позволило понять, как следует строить радиолокационные станции, что происходит при заболеваниях нервной системы, как создавать управляющие структуры, чем мозг отличается от компьютера и множество других вещей. На многие системы оказалось возможным взглянуть как на "черный ящик", который по определенным правилам реагирует на приходящие к нему сигналы. И не так уж важно, находится ли в "ящике" компьютер или подопытное животное, оператор или демон Максвелла.
На первый взгляд принцип дополнительности кажется странным инородным телом, легкомысленно-гуманитарным в стройном здании такой серьезной и солидной науки, как теоретическая физика. Но оказалось, что в одних случаях электрон следует рассматривать как волну и писать одни уравнения, а в других - как частицу и писать другие. Эти описания не вытекают одно из другого, их можно мыслить как разные отражения нашего мира, разные проекции реальности.
Специалистам по прогнозам в разных областях известно, что прогноз возможен далеко не всегда. Например, трехнедельного прогноза погоды, вообще говоря, не существует. Однако, если метеорологу показать некоторую особую погодную ситуацию, сложившуюся над Северной и Западной Европой, он довольно точно расскажет, что будет в ближайшие два месяца. Речь идет о явлении, которое названо в статье "руслами". Близкие траектории как бы притягиваются к некоторому пучку и далее следуют вместе.
ОТ HOMO SАPIENS К HOMO LUDENUS
"ЗС" ? 3/1998
Там, за горизонтом
Я хотел бы, чтобы в этом "опросе у вас была полная ясность. Мы - не люди. Мы - людены. Не впадите в ошибку. Мы - не результат биологической эволюции. Мы появились потому, что человечество достигло определенного уровня социотехнологической организации.
А Стругацкий, Б Стругацкий
"Волны гасят ветер"
- Ученые стали думать так, а не иначе. Написали десяток программ и придумали какие-то технологии. Какое отношение это все имеет ко мне, простому человеку? Почему я должен обращать на это внимание и выкладывать какие-то денежки как налогоплательщик?
Примерно на такой вопрос автору в этом году приходилось отвечать примерно раз в две недели. Ответ простой: "Игры, в которые играет "простой человек", существенно меняются. В ближайшем будущем они изменятся еще сильнее. На глобальном, цивилизационном, государственном, региональном и даже на личном уровне Ученые, с их концепциями, программами и технологиями, для того и нужны, чтобы разобраться с этими играми и помочь сделать выбор. Ведь, согласитесь, грустно играть в игры, которые не нравятся, и жить не своей жизнью".
В течение последних десятилетий происходят перемены, сравнимые по значению и масштабу с теми, которые имели место в течение всей предшествующей истории человечества. Их можно сопоставить с неолитической революцией, в ходе которой пришлось отказаться от одной траектории развития, связанной с охотой и собирательством, и начать двигаться по другой, возможной при оседлой жизни и развитии сельского хозяйства. По мнению вице-президента США А. Гора, сейчас происходит крах "цивилизации присваивающей", ее ценностей, морали, алгоритмов развития и рождение нового мира С этим трудно не согласиться.
Антропологи назвали нынешнего человека homo sapiens, считая, что он достаточно разумен, чтобы обеспечить рост и превосходство своего вида. И действительно, наша численность как биологического вида более чем на пять порядков, то есть в сто тысяч раз превосходит численность сравнимых с нами видов млекопитающих. Сейчас рождается следующий тип человека, homo ludenus - человек играющий, который может выбирать между альтернативными типами виртуальной реальности, существующей благодаря телевидению, видеорынку, глобальным компьютерным сетям, огромному массиву созданной культуры и, в соответствии с этим, между разными типами существующего и планируемого мира. Человечество выходит на тот уровень, когда многие мечты могут быть осуществлены достаточно быстро. Эти возможности могут стать благом, если мечта была прекрасной или хотя бы разумной. Они, как и свобода, могут стать проклятием, если желавшие ошиблись в себе и своих представлениях о мире.
Масштабы перемен действительно огромны. По данным палеодемографии, скорость роста численности народонаселения Земли в течение многих десятков тысяч лет была пропорциональна квадрату численности населения. В течение ближайших десятков лет, как утверждают демографы, этот закон кардинально изменится. Произойдет глобальный демографический переход и дальнейшая стабилизация численности населения на уровне 12-14 миллиардов человек. Стабилизация будет связана не с нехваткой продовольствия, Земля может прокормить и больше, а с более глубокими системными причинами. Развитие "вширь" заканчивается. Тихий океан становится "последним Средиземноморьем", и скоро придется решать, куда же двигаться дальше.
С другой стороны, и жизнь людей за последние полвека немало изменилась. Социологи утверждают, что средний американец 65 лет провел за телеэкраном более девяти лет. А ведь это трудно себе представить. Призрачному, виртуальному миру принесена громадная жертва - общение с близкими, встречи, размышления, возможности чему-нибудь научиться или просто поспать. Что можно сказать о человеке, который видел тысячи рождений и смертей, браков и измен, фарсов и трагедий? (Пусть пока не очень реалистично, но за этим дело не станет.) Наверное, что он очень старый. Помните гоголевское: "Скучно жить на свете, господа". Думаю, что наши предки очень удивились бы, узнав, как много времени у нас будет занимать разглядывание картинок, пусть даже движущихся.
На встрече в Рио-де-Жанейро по проблемам глобального развития не раз звучали предостерегающие голоса: "Человечество, имея современные технологии, не может жить, исходя из средневековых представлений о взаимодействии с соседями"; "Богатство уже не является главной ценностью. Мы должны быть готовы дорого заплатить за устойчивость своей траектории, за то, чтобы у следующих поколений были приличные стартовые условия"; "Деньги - суррогат всего. Только суррогат. Более важно иметь возможность реализовать себя, чем просто иметь". Они не были услышаны. Важно не думать, что выбора не было или нет. Нужно осознать, почему была выбрана та игра, в которую мы сейчас играем, и подумать, не пора ли от нее отказаться.
Изменение игры как ресурс развития
Можно отрицать почти все абстрактные понятия: право, красоту, истину, добро, дух, Бога. Можно отрицать серьезность. Игру - нельзя.
И. Хейзинга
Что дало нам стратегическое, в сравнении с другими видами, преимущество, позволило прожить длинную, полную драматических коллизий историю? Главное - умение вовремя изменить поведенческую стратегию или, коротко говоря, игру. Приведем примеры.
Первый, близкий нашему веку, экономический. Стандартная игра рыночной капиталистической экономики, которая описана в учебниках. Рынок рабочей силы, жесткая конкуренция, короткие контракты при приеме на работу, стимулирующие активность сотрудников, небольшие мобильные фирмы, которые более восприимчивы к инновациям и легче в управлении, чем отжившие свой век мастодонты бизнеса. Но что вы скажете о фирме, в которой 400 тысяч сотрудников, включая 42 тысячи менеджеров и 1500 руководителей, которая живет в режиме перманентной реорганизации? В которой "взаимоотношения управляющих и работников (они составляют "семью" в лучшем смысле слова) носят скорее патерналистский характер" и администрация стремится к пожизненному найму работников? Что вы думаете о фирме, в которой поощряется несогласие и "деятельность которой вдохновляется и контролируется этическим кодексом, отражающим чуть ли не религиозные по силе верования"?
Обычно студенты говорят, что это фантастика, что написанное выше полно логических противоречий, что такой динозавр в условиях современного рынка не протянет и месяца. Однако все сказанное относится к корпорации IBM, одной из ведущих фирм по разработке, производству и продаже компьютеров. Одной из самых прибыльных американских корпораций. Цитаты взяты из книги одного из управляющих IBM. Нестандартные решения, смена типа игры по отношению к каноническим правилам оказались высоко оценены экономической системой. К счастью не только для сотрудников фирмы, но и для нас с вами - в стремительном прогрессе компьютерной техники и ее фантастическом удешевлении большая заслуга этой же компании.
Второй пример - исторический, не столь конкретный, но гораздо более грандиозный. Читая выдающихся историков нашего века - А. Тойнби, Ф. Броделя, Л. Гумилева, чувствуешь их искреннее удивление процессами создания этносов, религий, цивилизаций.
Схема кажется странной до неправдоподобия. Появляется человек, который чувствует себя посланником бога, призванным спасти свой народ или открыть новую эру в истории человечества. Он привлекает поначалу немногочисленных сторонников, убеждает, что они совсем не такие, как все вокруг, и что действовать надо немедленно. Новизна предлагаемого и решимость оказываются заразительны. Не беда, что пророк иногда не умеет писать и читать, не представляет культуры, которой себя противопоставляет, и сил противника. И эта эфемерная поначалу "новая игра" оказывается более сильной и могущественной, чем великие империи, отлично подготовленные службы безопасности и огромный пласт предшествующей культуры. Физик бы сказал, что система неустойчива к таким возмущениям. Возможно, эта "ахиллесова пята" связана с необходимостью иногда радикально обновлять историческую арену, пусть даже таким жестоким образом.
Третий пример - психологический. Игры бывают разные. По мнению известного психолога Э. Берна, иногда они связаны со стремлением действовать стереотипно, играть собой и окружающими, как шахматными фигурами в какой-нибудь излюбленной ситуации. Например, игра "загнанная домохозяйка". В ходе работы или в жизни человеку приходится играть много ролей, но "загнанная домохозяйка" стремится играть несколько ролей одновременно, стремясь быть "отличницей в многоборье" или что-то доказать людям, мнение которых сверхценно. Как ни странно, эта игра очень популярна среди ученых, бизнесменов, государственных чиновников, с которыми довелось общаться автору. Есть и более суровые игры: "Бейте меня", "Давайте надуем Джо", "Полицейские и воры".
Откуда берутся игры? В каждом человеке, по мысли Э. Берна, можно выделить три ипостаси: Родитель, Взрослый, Ребенок.
Первая связана с образом и запомненными состояниями своих родителей.
Вторая - с готовностью активно и самостоятельно оценивать ситуацию и брать на себя ответственность за свои действия.
Третья - с реакциями, которые характерны для маленького ребенка. Телевидение частенько злоупотребляет эксплуатацией именно этой последней ипостаси.
От некоторых вредных, разрушающих личность игр психологи помогают избавиться, дают возможность человеку осознать себя взрослым. С другой стороны, многие деловые игры, "мозговые штурмы", будучи профессионально подготовленными, дают блестящие результаты, помогают "взлететь выше себя".
Игры, как одна из важнейших компонент бытия, начали осознаваться немногим более полувека назад, во многом благодаря работам нидерландского историка культуры Йохана Хейзинги. Если русла, джокеры, проекции реальности являются способом упростить и понять природу и мир вещей, то различные игры являются примерно теми же упрощенными моделями реальности в мире людей. Ими можно злоупотреблять, искренне полагая, что "глобальное русло" - философия - дает верный методологический ключ ко всем конкретным задачам, или считая, что "все мужчины одинаковы". Но их можно использовать и с большим толком.
Многие великие архитектурные сооружения создавались гениальными архитекторами "на глаз", безо всякой математики и хитроумных расчетов. Но вот в свое время во Флоренции попробовали посчитать и, как говорят, смогли строить храмы вдвое выше и гораздо прочнее. То, что было итогом озарений, многолетнего опыта, стало технологией, ремеслом, рутиной. В сущности, в этом и состоит одна из главных задач науки.
До сих пор игры, созидавшие и разрушавшие державы, фирмы, людей, придумывали и искали интуитивно. В новой реальности, создаваемой на наших глазах, их роль, вероятно, неизмеримо возрастет. Быть может, исследователям пора вспомнить про опыт флорентийцев?
Нет пророка..?
Вы, профессор, воля ваша, что-то нескладное придумали! Оно, может, и умно, но больно непонятно. Над вами потешаться будут.
М. А. Булгаков.
"Мастер в Маргарита"
Автору в свое время доводилось много играть во дворе. Очень популярны были прятки. Но вот как-то пришел новый мальчишка и все пошло кувырком. Он играл неправильно, хотя и правил вроде не нарушал. Поэтому всегда выигрывал. Дело в том, что когда ему приходилось "водить", он сначала, как положено, считал, закрыв глаза, а потом... сам прятался и смотрел, кто первый вылезет. Тут его и можно брать "тепленьким" - подбегай и застукивай. В нашем дворе проблема решилась просто - кто-то пошел в соседний двор, где не было "таких умных". А мы решили, что лучше переключиться на "догонялки". Чувства при этом менялись в такой последовательности. Сначала грустно, потому что лишились славной игры. Потом ощущение жульничества и абсурда - все как будто и так и не так, а как начнешь придумывать новые правила, то вконец запутаешься. И наконец, становилось смешно - в конечном счете игра для нас, а не мы для игры.
И точно такое же ощущение все чаще возникает при взглядах на происходящее в городах, весях и регионах огромной страны. Кажется, в разных местах уже все перепробовано. От "президентства" и "полной демократии" до "ханства" и откровенного "паханства". И все как-то не так получается. Помнится, Егор Гайдар в свое время жаловался, что директорский корпус отреагировал на прекрасные реформы "неправильно", поэтому из них ничего не получилось. Пару месяцев назад автору довелось услышать сетования гражданина суверенной Латвии на "некорректное, нецивилизованное" поведение "неграждан" этой благословенной республики. Во-первых, они почему-то не уехали в достаточном количестве несмотря на все принятые меры. Во-вторых, подозрительно быстро выучили латвийский язык, сдали экзамен и просочились в государственные учреждения. И, что хуже всего, заняли ключевые позиции в бизнесе и банковском деле. И вроде делают "граждане" все правильно - велят, к примеру, постановлением во всех документах мерзкое русское слово "компьютер" заменить на прекрасный латвийский термин "датор". А "неграждане" смеются и заносят это в качестве анекдота в свои компьютеры, простите, в даторы.
И правда, присмотришься - все как-то не так идет. Сейчас много говорят о мафии. Но картина, описанная в "Крестном отце", где мафия "курировала" проституцию, игорные дома и наркобизнес, радикально отличается от нашей ситуации, когда на крупнейшем автомобильном заводе в течение нескольких лет существовала, как утверждает журнал "Эксперт", своя бандитская приемка. Как будто это совсем другая игра. Или вот "возрождают духовность". Строят церкви, мечети, синагоги. А народ смеется. Не тот эффект получается.
И ученая братия это чувствует. Придумали "бюрократический рынок", как в Венесуэле, по Найшулю, "плутовскую экономику", "клановый капитализм". И все вроде верно и умно. Но какие-то фрагменты никак не хотят укладываться в нарисованные картинки. Ну какая, скажите, Венесуэла, когда страной сейчас создаются и испытываются боевые самолеты и противоракетные системы следующего поколения, значительно превосходящие мировые образцы.
Отсюда напрашивается очевидный вывод - простейшие ярлыки к ситуации не подходят, общие стандартные игры "не идут". Поэтому следует найти другой угол зрения, другую проекцию реальности. А исходя из этого искать "свою игру", свои способы нарушать общие правила, как их нашли Соединенные Штаты, Япония, Тайвань, Китай... Вероятно, "жизнь на общих основаниях" не для нас. И цифры говорят о том же. По валовому внутреннему продукту на душу населения - одному из главных показателей, непосредственно касающихся человека, Российская Федерация вышла на 102-е место из 209. Этот показатель сейчас в России несколько меньше, чем в Суринаме, Эквадоре и Ботсване, но больше, чем в Намибии.
Пора придумывать новую игру. "Раз, два, три, четыре, пять, я иду искать...".
В редакции авторам прочитанных вами статей был задан вопрос: что дадут людям новые подходы к науке, о которых вы пишете?
И вот их ответ: "Ну, скажем, это может быть шанс обойтись без следующей мировой войны или без нового средневековья. Или возможность увеличить продолжительность жизни. А может быть, просто обойтись без больших потерь на этом историческом вираже. Игра ведь стоит свеч?"
Нелинейность
"ЗС" ? 11/1982
Как связаны друг с другом явления, происходящие в природе?
Каким образом можно верно отразить зависимости между величинами, описывающими эти явления?
Классический аппарат естествознания был создан прежде всего на линейной основе равным изменениям одной - независимой - величины должны непреложно отвечать равные перемены в зависимой. И хотя примеров линейности нашего мира множество, вся природа, однако, не укладывается в рамки пусть строгой и стройной, но, увы, чересчур идеальной схемы.
Вне этих рамок - но ближе к реальности властвует нелинейность.
Современную физику, наряду со многими отличающими ее от физики прошлого эпитетами, несомненно, можно именовать и нелинейной. Причем это название отмечает не столько черту, одну из характеристик науки, сколько отражает ее переход на новую - нелинейную ступень познания.
Использование нелинейных математических моделей позволяет объединить и описать большой круг разрозненных явлений, обнажить их глубинную сущность.
О качественно новых особенностях, вносимых нелинейностью в науку, рассказывает предлагаемая вниманию читателя статья.
Среди множества почетных титулов, которые принес нашему веку прогресс науки, "век нелинейности" - один из наименее звучных, но наиболее значимых и заслуженных.
Нелинейность всепроникающа и вездесуща, многолика и неисчерпаемо разнообразна. Она повсюду: в большом и в малом, в явлениях быстротечных и длящихся эпохи. Нелинейность - это рождение и аннигиляция элементарных частиц, гигантское красное пятно на Юпитере и оглушительный хлопок пастушьего кнута, биение сердца и всепроникающий луч лазера, теплый свет свечи и нескончаемая изменчивость волн, болезни и исцеление, вызов искусству аналитика и мастерству экспериментатора, надежды и бессилие создателей теорий и тех, кто подвергает их замыслы суровой экспериментальной проверке.
Нелинейность - понятие емкое, с множеством оттенков и градаций. Нелинейность эффекта или явления означает одно, нелинейность теории - другое.
Нелинейный эффект - это эффект, описываемый некоторой нелинейной зависимостью. Математически такого рода зависимости выражаются нелинейными функциями одного или нескольких переменных.
Мир линейных функций утомительно однообразен: стоит изучить лишь одну линейную функцию, как вы знаете все наиболее существенное о всех линейных функциях. Не приносит каких-либо неожиданностей и переход к большему числу измерений. Геометрический образ линейной функции, каков бы ни был ее физический смысл, в зависимости от числа независимых переменных - прямая, плоскость или гиперплоскость. На одинаковые приращения независимой переменной линейная функция беспристрастно (то есть независимо от значения независимой переменной) откликается одинаковыми приращениями. Это означает, что линейная зависимость не обладает избирательностью. Она не может описывать ни резонансных всплесков, ни насыщения, ни колебаний - ничего, кроме равномерного неуклонного роста или столь же равномерного и столь же неуклонного убывания.
Мир нелинейных функций так же, как и стоящий за ним мир нелинейных явлений, страшит, покоряет и неотразимо манит своим неисчерпаемым разнообразием. Здесь нет места чинному стандарту, здесь безраздельно господствуют изменчивость и буйство форм. То, что точно схватывает и передает характерные особенности одного класса нелинейных функций, ничего не говорит даже о простейших особенностях типичного представителя другого класса. Геометрический образ нелинейной функции - кривая на плоскости, искривленная поверхность или гиперповерхность в пространстве трех или большего числа измерений. На одинаковые приращения независимой переменной одна и та же нелинейная функция откликается по-разному в зависимости от того, какому значению независимой переменной придается приращение. Почти полным безразличием к изменению одних и повышенной чувствительностью к изменению других значений независимой переменной нелинейные функции разительно контрастируют с линейными. Именно здесь и проходит демаркационная линия между миром нелинейных и миром линейных явлений.
В какой бы области естествознания ни возникала нелинейность явлений, она глубоко "функциональна". В физике нелинейность - это учет различного рода взаимодействий, обратных влияний и тонких эффектов, ускользающих от более грубых сетей линейной теории. В химии нелинейность отражает обратные связи в сокровеннейших механизмах реакций. В биологии нелинейность исполнена высокого эволюционного смысла: только сильная нелинейность позволяет биологическим системам "...услышать шорох подползающей змеи и не ослепнуть при близкой вспышке молнии. Те биологические системы, которые не смогли охватить громадный диапазон жизненно значимых воздействий среды, попросту вымерли, не выдержав борьбы за существование. На их могилах можно было бы написать: "Они были слишком линейными для этого мира" (А. М. Молчанов).
Границу между линейными и нелинейными теориями принято проводить по иному признаку. Теория считается линейной или нелинейной в зависимости от того, какой - линейный или нелинейный - математический аппарат она использует.
В прошлом физика знала немало нелинейных теорий (хотя число их, разумеется, не шло ни в какое сравнение с числом нелинейных теорий, известных ныне). Вспомним хотя бы такие исконно нелинейные физические теории, как гидродинамика или небесная механика. И все же физику прошлого даже с большой натяжкой нельзя было бы назвать нелинейной. Для этого ей недоставало главного нелинейность еще не заняла подобающего места среди "первых принципов", на которых зижделось тогда физическое мышление. Большинство физиков пребывало в уверенности, что в великой книге природы основная линия развития сюжета проходит в стороне от нелинейных разделов и глав, набранных как бы петитом, и их (по крайней мере при первом чтении) можно опустить без особого ущерба для понимания.
Во мнении, что именно линейная теория дает главный член бесконечного ряда последовательных приближений к истине, а нелинейности отводится скромная роль косметики на прекрасном лице линейной теории, вместилища всевозможных поправок, не меняющих сколько-нибудь существенно выводов линейной теории, физиков прошлого укрепляли блестящие успехи линейной теории и в первую очередь ее высочайшее достижение - электродинамика Максвелла.
Отпечаток распространенного некогда заблуждения относительно якобы главенствующей роли линейности в окружающем нас мире несет на себе сам термин "нелинейность": его создатели сочли первичной линейность, а нелинейность восприняли как нечто вторичное, производное от линейности и определили через ее отрицание. Современный физик, доводись ему заново создавать определение столь важной сущности, как нелинейность, скорее всего поступил бы иначе и, отдав предпочтение нелинейности как более важной и распространенной из двух противоположностей определил бы линейность как "не нелинейность". Доведенный усилиями не одного поколения математиков до высокой степени совершенства, линейный математический аппарат взят физиками на вооружение и до тонкости освоен так давно, что стал неотъемлемым элементом их математической культуры, вошел в плоть и кровь, обрел почти осязаемые формы в виде целой серии насыщенных ярким физическим содержанием идей и образов, позволяющих физику, минуя тяготы вычислений, интуитивно предугадывать ответ.
Не следует думать, однако, будто богатейший опыт прошлого, нашедший свое концентрированное выражение в "линейном физическом мышлении", пропадает втуне для познания нелинейных явлений: среди решений линейных уравнений, разностных, обыкновенных дифференциальных с частными производными, интегральных и интегродифференциальных и т. п. имеется немало нелинейных функций, вполне пригодных для описания некоторых нелинейных явлений.
Впрочем, заблуждаются не только те, кто недооценивает возможности линейной теории, но и те, кто считает ее всесильной: далеко не всякая нелинейная функция, описывающая тот или иной физический эффект, может быть решением линейного уравнения. Среди нелинейных функций встречаются и совсем "дикие", не удовлетворяющие никаким - ни линейным, ни нелинейным уравнениям.
Неповторимая отличительная особенность линейной теории, безвозвратно утрачиваемая при переходе к нелинейной ступени познания, - принцип суперпозиции - позволяет физику конструировать любое решение из определенного набора частных решений.
Физики, делавшие первые, еще неуверенные шаги в области нелинейного, где все было "не так" - противоречило устоявшимся линейным представлениям и линейной интуиции, питали надежду, что милый их сердцу линейный математический аппарат путем различного рода ухищрений удастся приспособить к решению новых задач. Тех, кто так полагал, ожидало разочарование: линейный математический аппарат отторгал чужеродную ткань нелинейных дополнений. "Искусственная линеаризация" оказывалась малоэффективной, "...большей частью ничему не научала, а иногда бывала и прямо вредной" (Л. И. Мандельштам).
Неправомерное перенесение линейного опыта на нелинейную почву не только лишено последовательности и наносит ущерб эстетической привлекательности теории (тем самым сигнализируя о нарушении сформулированного П. А. М. Дираком критерия математической красоты физической теории), но и чревато грубым искажением существа происходящих процессов. Руководствуясь ненадежным компасом линейной интуиции, нетрудно впасть в ошибку и проглядеть важный эффект, не имеющий линейных аналогов. Приведем один весьма красноречивый пример.
Линейные теории теплопроводности и диффузии по существу тождественны: в линейном приближении законы Фурье и Фика "устроены" одинаково, уравнения теплопроводности и диффузии с точностью до обозначений совпадают. Если создать начальное возмущение температуры или концентрации, то со временем оно "рассосется", распределение температуры и концентрации будет стремиться к постоянному. Каково же было изумление ученых, когда выяснилось, что если диффузия сопровождается химической реакцией или теплопроводность наблюдается в среде с распределенными источниками тепла, то начальное возмущение может переходить в бегущую волну, движущуюся со скоростью, намного превышающей скорость диффузии! Важность открытия волнового режима в системах диффузионного типа станет ясной, если учесть, что такие системы описывают процессы, происходящие при горении газовых смесей, распространении нервного импульса, транспорта ионов через клеточные мембраны, динамику популяций различных организмов и многое другое.
О том, сколь неожиданным было это открытие, красноречиво свидетельствует следующий отрывок из обзора "Электрофизика нервного волокна" Альвина Скотта:
"Если оглянуться назад, то окажется, что математики упустили прекрасную возможность получить важные научные результаты только потому, что игнорировали изучение нелинейного уравнения диффузии. Исключением была работа А. Н. Колмогорова, И. Г. Петровского и Н. С. Пискунова "Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества"... Они показали, что любое начальное возмущение в виде перепада стремится к одному и тому же уединенному стационарному решению типа бегущей волны. Авторы изучили это решение... и получили в явном виде выражение для скорости.
...То, что математики не сумели своевременно изучить уравнение Колмогорова - Петровского - Пискунова, не может быть объяснено слабостью их техники перед лицом огромных математических трудностей... Препятствие, вероятно, заключалось в том, что математики автоматически перенесли вывод о неволновом поведении решений волнового дифференциального уравнения на нелинейный случай.
...Чтобы иметь наглядный пример нелинейной диффузии, достаточно взять обыкновенную свечу, веками освещавшую рабочие столы ученых. Диффузия тепла от пламени освобождает от воска все новые участки фитиля, которые, в свою очередь, загораются и служат новыми источниками тепла".
Итак, уже на подступах к бескрайним просторам нелинейности исследователь, как правило, вынужден отказаться от линейных вех, способных скорее дезориентировать, чем указывать верное направление. Не располагая готовым математическим аппаратом или не успев выбрать подходящее оружие в обширном арсенале математических средств и методов, физик порой встает на путь своего рода "математического старательства" и принимается решать нелинейные задачи "поштучно", используя их специфические индивидуальные особенности. "Этот путь, конечно, сам по себе правилен, - писал Л. И. Мандельштам в предисловии к первому изданию "Теории колебаний" А. А. Андронова, А. А. Витта и С. Э. Хайкина. - Идя по нему, ряд исследователей получил весьма ценные результаты, сохранившие все свое значение и в настоящее время... И сейчас иногда удобно в том или ином случае идти по этому пути.
Но не говоря уже о том, что фактически такие решения отдельных задач не имели достаточного математического обоснования, весь этот путь в качестве, так сказать, большой дороги вряд ли целесообразен, так как он не ведет к установлению тех общих точек зрения, той базы, как математической, так и физической, которая необходима для достаточно полного и всестороннего охвата области нелинейных колебаний в уже известной нам ее части, и, что еще важнее, для успешного дальнейшего планомерного развития".
Выделенные курсивом слова "нелинейных колебаний" не уменьшают общности утверждения. Их следует читать, как "нелинейной физики" - ведь они принадлежат Л. И. Мандельштаму, считавшему, что "...главные открытия в физике, начиная с открытия Коперника, были по существу колебательными и что, может быть, прав английский математик и философ Уайтхед, утверждающий, что рождение физики связано с применением абстрактной идеи периодичности к большому числу отдельных конкретных явлений" (А. А. Андронов).
Чтобы не влачить жалкое существование приживалки линейной теории и не быть низведенной до положения ученой хранительницы обширного собрания разрозненных решенных задач, нелинейная физика должна была обрести внутреннее единство и автономию от своей предшественницы - линейной физики. Необходимо создать "...нелинейную культуру, включающую надежный математический аппарат и физические представления, адекватные новым задачам, выработать нелинейную интуицию, годную там, где оказывается непригодной интуиция, выработанная на линейных задачах" (А. А. Андронов). Основоположником и создателем нелинейного физического мышления стал замечательный советский физик академик Л. И. Мандельштам.
Ученый широчайшего кругозора, тонкий знаток "линейной колебательной культуры", Л. И. Мандельштам по достоинству оценил "интернациональный язык" нелинейной теории колебаний, позволяющий устанавливать изоморфизм внешне, казалось бы, далеких явлений, большую эвристическую силу выработанных ею математических понятий, воспринимаемых не абстрактно, а в непосредственной связи с целым комплексом физических явлений, даваемую отточенной физической интуицией возможность предугадывать решения в одних и "правильно допрашивать дифференциальные уравнения" в других случаях.
"Нелинейное физическое мышление" Л. И. Мандельштама, апеллирующее к наглядным физическим образам или, точнее, к образам, обретающим наглядность после того, как они пережиты физиком "с той интенсивностью, с какой человек переживает наиболее важное из лично его касающегося" (Г. С. Горелик), обнаруживает глубокую аналогию с, казалось бы, противоположным по своей основной тенденции "структурным" подходом Эмми Нетер, научившей математиков различать за конкретными деталями задачи контуры некой абстрактной схемы - математической структуры, задаваемой аксиоматически. Суть "структурного" подхода, сформулированная Н. Бурбаки в статье "Архитектура математики", звучит как парафраз мандельштамовской программы создания "нелинейной культуры":
"Структуры" являются орудиями математика, каждый раз, когда он замечает, что между элементами, изучаемыми им, имеют место отношения, удовлетворяющие аксиомам структуры определенного типа, он сразу может воспользоваться всем арсеналом общих теорем, относящихся к структурам этого типа, тогда как раньше он был бы должен мучительно трудиться, выковывая сам средства, необходимые для того, чтобы штурмовать рассматриваемую проблему, причем их мощность зависела бы от его личного таланта, и они были бы отягчены часто излишне стеснительными предположениями, обусловленными особенностями изучаемой проблемы".
Без "структурного" подхода Эмми Нетер мир не знал бы современной алгебры, во многом определяющей лицо всей современной математики. Без "нелинейного физического мышления" Л. И. Мандельштама не было бы современной нелинейной физики, во многом определяющей лицо всей современной физики. Абстрактные математические структуры, жестко регламентированные сухим перечнем аксиом, и нелинейные физические понятия, определяемые лишь на эвристическом уровне строгости, едины в главном - они обнажают глубинную сущность явлений.
Основное оружие нелинейно мыслящего физика - математические модели, но в отличие от периода математического "старательства", когда каждая задача решалась сама по себе и для себя, эти математические модели представительны, или массовы, - они описывают целые классы явлений, объединенных по какому-то признаку. Математическая модель, даже самая удачная, - не портрет типичного представителя описываемого класса явлений, выраженный в реалистической манере, а скорее карикатура на него: одни детали опущены, другие утрированы, но в целом портретное сходство сохранено настолько, что явление узнаваемо. Появившись на свет, модель начинает жить самостоятельной жизнью и нередко преподносит своему создателю приятные и неприятные сюрпризы, обнаруживая свойства, о которых тот и не помышлял. "Модель (идеализация) мстит" (Л. И. Мандельштам).
Современные математические модели представляют собой нелинейные уравнения или системы нелинейных уравнений различных типов. Хотя нелинейные уравнения несколько утратили былой ореол неприступности, все же найти аналитически замкнутое решение удается лишь в исключительных случаях. Точно решаемые модели обычно не находят, в специально конструируют, чтобы отработать на них стратегию и тактику штурма нерешаемых точно моделей. Обычно успеха удается добиться, комбинируя численные и аналитические методы. Н. Забуский назвал комбинированный подход синергетическим (от греческого "синергетика" - совместное, или согласованное действие). "Синергетический подход к нелинейным математическим и физическим задачам, - писал он, - можно определить как совместное использование анализа и численной машинной математики для получения решений разумно поставленных вопросов относительно математического и физического содержания уравнений".
Нелинейны не только эффекты и уравнения нелинейной физики, но и развитие нелинейной физики, как, впрочем, и всей физики в целом. "График, с помощью которого можно было бы изобразить процесс развития физики в зависимости от времени, по форме должен быть очень похож на взлетную траекторию современного скоростного самолета. Сравнительно длинный разбег, плавный отрыв от земли и - почти немедленный вслед за этим - переход к крутому подъему со все ускоряющимся набором высоты" (Л. А. Арцимович).
Нелинейный мир велик и необъятен, и хотя на карте его сейчас немало белых пятен, уже имеется несколько обжитых (или, точнее, обживаемых) островков. Перечень их пока сравнительно краток, но зато обладает завидным преимуществом - он неполон, так как непрестанно растет. За каждой строкой этого перечня - своя история, порой весьма захватывающая и драматичная, свои судьбы, свои герои и труженики. У каждой свое предназначение. Одним суждено бесследно исчезнуть, растворившись в будущей теории, другим предстоит жизнь долгая и славная, но все вместе они образуют живую ткань единого целого, имя которому - Нелинейная Наука. Мы не ставим точки - она не будет поставлена никогда. Прощаясь с читателем, мы ставим оптимистическое многоточие - нелинейная физика живет и развивается, она на пороге новых значительных открытий...
Ю. Данилов
Комментариев нет:
Отправить комментарий